Theorem mndass 13688

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 13685	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	sgrpass 13674	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  Smgrpcsgrp 13667  Mndcmnd 13680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-sgrp 13668  df-mnd 13681

This theorem is referenced by:  mnd32g  13691  mnd12g  13692  mnd4g  13693  issubmnd  13706  mndinvmod  13709  imasmnd  13711  grpass  13767  mhmmnd  13872  gsumfzreidx  14093  gsumfzmptfidmadd  14095  gfsumval  14105  prdsmndd  14139  srgass  14217  ringass  14262