Theorem mul2negi 8282

Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1.1	|- A e. CC
mulneg.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
mul2negi	|- ( -u A x. -u B ) = ( A x. B )

Proof of Theorem mul2negi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1.1	. 2 |- A e. CC
2		mulneg.2	. 2 |- B e. CC
3		mul2neg 8274	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( -u A x. -u B ) = ( A x. B )

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5825   CCcc 7731   x. cmul 7738   -ucneg 8048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-setind 4497  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-sub 8049  df-neg 8050

This theorem is referenced by:  neg1mulneg1e1  9046  i4  10525