Theorem mul2neg 8555

Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mul2neg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Proof of Theorem mul2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8357	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		mulneg12 8554	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
4		negneg 8407	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u -u B = B )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u B = B )
6	5	oveq2d 6023	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u -u B ) = ( A x. B ) )
7	3, 6	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   x. cmul 8015   -ucneg 8329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  mulsub  8558  mulsub2  8559  mul2negi  8563  mul2negd  8570  mullt0  8638  recexre  8736  zmulcl  9511  sqneg  10832  absneg  11577  sinneg  12253  cosneg  12254  negdvdsb  12334