Theorem mul2neg 8267

Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mul2neg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Proof of Theorem mul2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8069	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		mulneg12 8266	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
3	1, 2	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
4		negneg 8119	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u -u B = B )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u B = B )
6	5	oveq2d 5837	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u -u B ) = ( A x. B ) )
7	3, 6	eqtrd 2190	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5821   CCcc 7724   x. cmul 7731   -ucneg 8041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-sub 8042  df-neg 8043

This theorem is referenced by:  mulsub  8270  mulsub2  8271  mul2negi  8275  mul2negd  8282  mullt0  8349  recexre  8447  zmulcl  9214  sqneg  10471  absneg  10943  sinneg  11616  cosneg  11617  negdvdsb  11695