ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2negi GIF version

Theorem mul2negi 8350
Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1 𝐴 ∈ ℂ
mulneg.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul2negi (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mul2negi
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mulneg.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 mul2neg 8342 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3mp2an 426 1 (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5869  cc 7797   · cmul 7804  -cneg 8116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-setind 4533  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-sub 8117  df-neg 8118
This theorem is referenced by:  neg1mulneg1e1  9117  i4  10605  lgsdir2lem5  14093
  Copyright terms: Public domain W3C validator