ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt0d GIF version

Theorem mulgt0d 7908
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mulgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 mulgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 mulgt0 7862 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1218 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643   · cmul 7648   < clt 7823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1re 7737  ax-addrcl 7740  ax-mulrcl 7742  ax-rnegex 7752  ax-pre-mulgt0 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-ltxr 7828
This theorem is referenced by:  ltmul1a  8376  mulge0  8404  recgt0  8631  prodgt0gt0  8632  prodge0  8635  modqmulnn  10145  modqdi  10195  cos12dec  11508  tangtx  12965
  Copyright terms: Public domain W3C validator