Theorem mulgt0d 8142

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mulgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mulgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		mulgt0 8094	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1250	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-mulrcl 7971  ax-rnegex 7981  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059

This theorem is referenced by:  ltmul1a  8610  mulge0  8638  recgt0  8869  prodgt0gt0  8870  prodge0  8873  modqmulnn  10413  modqdi  10463  cos12dec  11911  tangtx  14973