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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqmulnn | Unicode version |
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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modqmulnn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nnq 9651 |
. . . . . 6
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2 | 1 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . 5
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3 | flqcl 10291 |
. . . . . . 7
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4 | zq 9644 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . 5
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7 | qmulcl 9655 |
. . . . 5
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8 | 2, 6, 7 | syl2anc 411 |
. . . 4
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9 | qre 9643 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | simp2 1000 |
. . . . . 6
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12 | qmulcl 9655 |
. . . . . 6
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13 | 2, 11, 12 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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14 | 13 | flqcld 10295 |
. . . 4
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15 | 14 | zred 9393 |
. . 3
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16 | nnmulcl 8958 |
. . . . . . 7
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17 | nnq 9651 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . 6
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19 | 18 | 3adant2 1018 |
. . . . 5
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20 | qre 9643 |
. . . . 5
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21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . 4
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22 | simp1 999 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | nncnd 8951 |
. . . . . . . . 9
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24 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | nncnd 8951 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22 | nnap0d 8983 |
. . . . . . . . 9
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27 | 24 | nnap0d 8983 |
. . . . . . . . 9
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28 | 23, 25, 26, 27 | mulap0d 8633 |
. . . . . . . 8
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29 | 0z 9282 |
. . . . . . . . . 10
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30 | zq 9644 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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32 | qapne 9657 |
. . . . . . . . 9
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33 | 19, 31, 32 | sylancl 413 |
. . . . . . . 8
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34 | 28, 33 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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35 | qdivcl 9661 |
. . . . . . 7
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36 | 8, 19, 34, 35 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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37 | 36 | flqcld 10295 |
. . . . 5
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38 | 37 | zred 9393 |
. . . 4
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39 | 21, 38 | remulcld 8006 |
. . 3
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40 | nnnn0 9201 |
. . . . 5
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41 | flqmulnn0 10317 |
. . . . 5
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42 | 40, 41 | sylan 283 |
. . . 4
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43 | 22, 11, 42 | syl2anc 411 |
. . 3
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44 | 10, 15, 39, 43 | lesub1dd 8536 |
. 2
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45 | 22 | nnred 8950 |
. . . 4
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46 | 24 | nnred 8950 |
. . . 4
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47 | 22 | nngt0d 8981 |
. . . 4
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48 | 24 | nngt0d 8981 |
. . . 4
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49 | 45, 46, 47, 48 | mulgt0d 8098 |
. . 3
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50 | modqval 10342 |
. . 3
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51 | 8, 19, 49, 50 | syl3anc 1249 |
. 2
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52 | zq 9644 |
. . . . 5
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53 | 14, 52 | syl 14 |
. . . 4
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54 | modqval 10342 |
. . . 4
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55 | 53, 19, 49, 54 | syl3anc 1249 |
. . 3
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56 | 16 | 3adant2 1018 |
. . . . . . 7
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57 | flqdiv 10339 |
. . . . . . 7
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58 | 13, 56, 57 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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59 | flqdiv 10339 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | 3adant1 1017 |
. . . . . . 7
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61 | 3 | zcnd 9394 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 11, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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63 | 62, 25, 23, 27, 26 | divcanap5d 8792 |
. . . . . . . 8
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64 | 63 | fveq2d 5534 |
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66 | 11, 65 | syl 14 |
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67 | 66, 25, 23, 27, 26 | divcanap5d 8792 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 ax-arch 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-inn 8938 df-n0 9195 df-z 9272 df-q 9638 df-rp 9672 df-fl 10288 df-mod 10341 |
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