Theorem modqmulnn 10559

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulnn	|- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Proof of Theorem modqmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9824	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1042	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. QQ )
3		flqcl 10488	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
4		zq 9817	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
6	5	3ad2ant2 1043	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
7		qmulcl 9828	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
9		qre 9816	. . . 4 |- ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
11		simp2 1022	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. QQ )
12		qmulcl 9828	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
13	2, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. A ) e. QQ )
14	13	flqcld 10492	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ )
15	14	zred 9565	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. RR )
16		nnmulcl 9127	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
17		nnq 9824	. . . . . . 7 |- ( ( N x. M ) e. NN -> ( N x. M ) e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
19	18	3adant2 1040	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
20		qre 9816	. . . . 5 |- ( ( N x. M ) e. QQ -> ( N x. M ) e. RR )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. RR )
22		simp1 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. NN )
23	22	nncnd 9120	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. CC )
24		simp3 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. NN )
25	24	nncnd 9120	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. CC )
26	22	nnap0d 9152	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N # 0 )
27	24	nnap0d 9152	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M # 0 )
28	23, 25, 26, 27	mulap0d 8801	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) # 0 )
29		0z 9453	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
30		zq 9817	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. QQ
32		qapne 9830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N x. M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
33	19, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) =/= 0 )
35		qdivcl 9834	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ ( N x. M ) =/= 0 ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
36	8, 19, 34, 35	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
37	36	flqcld 10492	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. ZZ )
38	37	zred 9565	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. RR )
39	21, 38	remulcld 8173	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) e. RR )
40		nnnn0 9372	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
41		flqmulnn0 10514	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
42	40, 41	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
43	22, 11, 42	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
44	10, 15, 39, 43	lesub1dd 8704	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
45	22	nnred 9119	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. RR )
46	24	nnred 9119	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. RR )
47	22	nngt0d 9150	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < N )
48	24	nngt0d 9150	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < M )
49	45, 46, 47, 48	mulgt0d 8265	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < ( N x. M ) )
50		modqval 10541	. . 3 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
51	8, 19, 49, 50	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
52		zq 9817	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
53	14, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
54		modqval 10541	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
55	53, 19, 49, 54	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
56	16	3adant2 1040	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
57		flqdiv 10538	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
58	13, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
59		flqdiv 10538	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
60	59	3adant1 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
61	3	zcnd 9566	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. CC )
62	11, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
63	62, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8960	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` A ) / M ) )
64	63	fveq2d 5630	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) )
65		qcn 9825	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
66	11, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. CC )
67	66, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8960	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) = ( A / M ) )
68	67	fveq2d 5630	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr4rd 2273	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
70	58, 69	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
71	70	oveq2d 6016	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) = ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) )
72	71	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
73	55, 72	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
74	44, 51, 73	3brtr4d 4114	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   x. cmul 8000   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   QQcq 9810   |_cfl 10483   mod cmo 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485  df-mod 10540

This theorem is referenced by: (None)