Theorem modqmulnn 10605

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulnn	|- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Proof of Theorem modqmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9867	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1044	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. QQ )
3		flqcl 10534	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
4		zq 9860	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
6	5	3ad2ant2 1045	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
7		qmulcl 9871	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
9		qre 9859	. . . 4 |- ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
11		simp2 1024	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. QQ )
12		qmulcl 9871	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
13	2, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. A ) e. QQ )
14	13	flqcld 10538	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ )
15	14	zred 9602	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. RR )
16		nnmulcl 9164	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
17		nnq 9867	. . . . . . 7 |- ( ( N x. M ) e. NN -> ( N x. M ) e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
19	18	3adant2 1042	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
20		qre 9859	. . . . 5 |- ( ( N x. M ) e. QQ -> ( N x. M ) e. RR )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. RR )
22		simp1 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. NN )
23	22	nncnd 9157	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. CC )
24		simp3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. NN )
25	24	nncnd 9157	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. CC )
26	22	nnap0d 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N # 0 )
27	24	nnap0d 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M # 0 )
28	23, 25, 26, 27	mulap0d 8838	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) # 0 )
29		0z 9490	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
30		zq 9860	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. QQ
32		qapne 9873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N x. M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
33	19, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) =/= 0 )
35		qdivcl 9877	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ ( N x. M ) =/= 0 ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
36	8, 19, 34, 35	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
37	36	flqcld 10538	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. ZZ )
38	37	zred 9602	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. RR )
39	21, 38	remulcld 8210	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) e. RR )
40		nnnn0 9409	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
41		flqmulnn0 10560	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
42	40, 41	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
43	22, 11, 42	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
44	10, 15, 39, 43	lesub1dd 8741	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
45	22	nnred 9156	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. RR )
46	24	nnred 9156	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. RR )
47	22	nngt0d 9187	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < N )
48	24	nngt0d 9187	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < M )
49	45, 46, 47, 48	mulgt0d 8302	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < ( N x. M ) )
50		modqval 10587	. . 3 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
51	8, 19, 49, 50	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
52		zq 9860	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
53	14, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
54		modqval 10587	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
55	53, 19, 49, 54	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
56	16	3adant2 1042	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
57		flqdiv 10584	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
58	13, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
59		flqdiv 10584	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
60	59	3adant1 1041	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
61	3	zcnd 9603	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. CC )
62	11, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
63	62, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8997	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` A ) / M ) )
64	63	fveq2d 5643	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) )
65		qcn 9868	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
66	11, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. CC )
67	66, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8997	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) = ( A / M ) )
68	67	fveq2d 5643	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr4rd 2275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
70	58, 69	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
71	70	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) = ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) )
72	71	oveq2d 6034	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
73	55, 72	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
74	44, 51, 73	3brtr4d 4120	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350   # cap 8761   / cdiv 8852   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   QQcq 9853   |_cfl 10529   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by: (None)