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Theorem modqmulnn 9956
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  <_ 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
) )

Proof of Theorem modqmulnn
StepHypRef Expression
1 nnq 9275 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
213ad2ant1 970 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
3 flqcl 9887 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
4 zq 9268 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
653ad2ant2 971 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
7 qmulcl 9279 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
82, 6, 7syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
9 qre 9267 . . . 4  |-  ( ( N  x.  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
11 simp2 950 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
12 qmulcl 9279 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  A
)  e.  QQ )
132, 11, 12syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  A )  e.  QQ )
1413flqcld 9891 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  ZZ )
1514zred 9025 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  RR )
16 nnmulcl 8599 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M
)  e.  NN )
17 nnq 9275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  x.  M )  e.  NN  ->  ( N  x.  M )  e.  QQ )
1816, 17syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M
)  e.  QQ )
19183adant2 968 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  QQ )
20 qre 9267 . . . . 5  |-  ( ( N  x.  M )  e.  QQ  ->  ( N  x.  M )  e.  RR )
2119, 20syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  RR )
22 simp1 949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2322nncnd 8592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 simp3 951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
2524nncnd 8592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
2622nnap0d 8624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N #  0 )
2724nnap0d 8624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M #  0 )
2823, 25, 26, 27mulap0d 8280 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M ) #  0 )
29 0z 8917 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
30 zq 9268 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  QQ
32 qapne 9281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  x.  M
)  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( ( N  x.  M ) #  0  <->  ( N  x.  M )  =/=  0
) )
3319, 31, 32sylancl 407 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
) #  0  <->  ( N  x.  M )  =/=  0
) )
3428, 33mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  =/=  0 )
35 qdivcl 9285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  =/=  0 )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  e.  QQ )
368, 19, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  e.  QQ )
3736flqcld 9891 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  e.  ZZ )
3837zred 9025 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  e.  RR )
3921, 38remulcld 7668 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) )  e.  RR )
40 nnnn0 8836 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
41 flqmulnn0 9913 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_  ( |_ `  ( N  x.  A
) ) )
4240, 41sylan 279 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_  ( |_ `  ( N  x.  A
) ) )
4322, 11, 42syl2anc 406 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_ 
( |_ `  ( N  x.  A )
) )
4410, 15, 39, 43lesub1dd 8189 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) )  <_  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
4522nnred 8591 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
4624nnred 8591 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
4722nngt0d 8622 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  N )
4824nngt0d 8622 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  M )
4945, 46, 47, 48mulgt0d 7756 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  ( N  x.  M
) )
50 modqval 9938 . . 3  |-  ( ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  e.  QQ  /\  0  < 
( N  x.  M
) )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
518, 19, 49, 50syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
52 zq 9268 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  QQ )
5314, 52syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  QQ )
54 modqval 9938 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  ( N  x.  A )
)  e.  QQ  /\  ( N  x.  M
)  e.  QQ  /\  0  <  ( N  x.  M ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
)  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
5553, 19, 49, 54syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  -  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
56163adant2 968 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  NN )
57 flqdiv 9935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  A
)  e.  QQ  /\  ( N  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  /  ( N  x.  M )
) )  =  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
5813, 56, 57syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  A
)  /  ( N  x.  M ) ) ) )
59 flqdiv 9935 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  M ) )  =  ( |_
`  ( A  /  M ) ) )
60593adant1 967 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  M ) )  =  ( |_ `  ( A  /  M ) ) )
613zcnd 9026 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
6211, 61syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
6362, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8438 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  A )  /  M
) )
6463fveq2d 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  M ) ) )
65 qcn 9276 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
6611, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
6766, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8438 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  A
)  /  ( N  x.  M ) )  =  ( A  /  M ) )
6867fveq2d 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  M ) ) )
6960, 64, 683eqtr4rd 2143 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
7058, 69eqtrd 2132 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
7170oveq2d 5722 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) )
7271oveq2d 5722 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  /  ( N  x.  M )
) ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
7355, 72eqtrd 2132 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  -  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
7444, 51, 733brtr4d 3905 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  <_ 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   RRcr 7499   0cc0 7500    x. cmul 7505    < clt 7672    <_ cle 7673    - cmin 7804   # cap 8209    / cdiv 8293   NNcn 8578   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   QQcq 9261   |_cfl 9882    mod cmo 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262  df-rp 9292  df-fl 9884  df-mod 9937
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