Theorem modqmulnn 10728

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulnn	|- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Proof of Theorem modqmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9983	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. QQ )
3		flqcl 10657	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
4		zq 9976	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
6	5	3ad2ant2 1046	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
7		qmulcl 9987	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
9		qre 9975	. . . 4 |- ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
11		simp2 1025	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. QQ )
12		qmulcl 9987	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
13	2, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. A ) e. QQ )
14	13	flqcld 10661	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ )
15	14	zred 9718	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. RR )
16		nnmulcl 9275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
17		nnq 9983	. . . . . . 7 |- ( ( N x. M ) e. NN -> ( N x. M ) e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
19	18	3adant2 1043	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
20		qre 9975	. . . . 5 |- ( ( N x. M ) e. QQ -> ( N x. M ) e. RR )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. RR )
22		simp1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. NN )
23	22	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. CC )
24		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. NN )
25	24	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. CC )
26	22	nnap0d 9300	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N # 0 )
27	24	nnap0d 9300	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M # 0 )
28	23, 25, 26, 27	mulap0d 8949	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) # 0 )
29		0z 9605	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
30		zq 9976	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. QQ
32		qapne 9989	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N x. M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
33	19, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) =/= 0 )
35		qdivcl 9993	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ ( N x. M ) =/= 0 ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
36	8, 19, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
37	36	flqcld 10661	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. ZZ )
38	37	zred 9718	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. RR )
39	21, 38	remulcld 8320	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) e. RR )
40		nnnn0 9520	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
41		flqmulnn0 10683	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
42	40, 41	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
43	22, 11, 42	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
44	10, 15, 39, 43	lesub1dd 8852	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
45	22	nnred 9267	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. RR )
46	24	nnred 9267	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. RR )
47	22	nngt0d 9298	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < N )
48	24	nngt0d 9298	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < M )
49	45, 46, 47, 48	mulgt0d 8412	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < ( N x. M ) )
50		modqval 10710	. . 3 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
51	8, 19, 49, 50	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
52		zq 9976	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
53	14, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
54		modqval 10710	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
55	53, 19, 49, 54	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
56	16	3adant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
57		flqdiv 10707	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
58	13, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
59		flqdiv 10707	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
60	59	3adant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
61	3	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. CC )
62	11, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
63	62, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 9108	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` A ) / M ) )
64	63	fveq2d 5679	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) )
65		qcn 9984	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
66	11, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. CC )
67	66, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 9108	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) = ( A / M ) )
68	67	fveq2d 5679	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr4rd 2278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
70	58, 69	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
71	70	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) = ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) )
72	71	oveq2d 6074	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
73	55, 72	eqtrd 2267	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
74	44, 51, 73	3brtr4d 4146	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   QQcq 9969   |_cfl 10652   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by: (None)