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Theorem modqmulnn 10127
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmulnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  <_ 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
) )

Proof of Theorem modqmulnn
StepHypRef Expression
1 nnq 9437 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
213ad2ant1 1002 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
3 flqcl 10058 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
4 zq 9430 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
653ad2ant2 1003 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
7 qmulcl 9441 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  ( |_ `  A )  e.  QQ )  -> 
( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
82, 6, 7syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ )
9 qre 9429 . . . 4  |-  ( ( N  x.  ( |_
`  A ) )  e.  QQ  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
11 simp2 982 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  A  e.  QQ )
12 qmulcl 9441 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  A
)  e.  QQ )
132, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  A )  e.  QQ )
1413flqcld 10062 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  ZZ )
1514zred 9185 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  RR )
16 nnmulcl 8753 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M
)  e.  NN )
17 nnq 9437 . . . . . . 7  |-  ( ( N  x.  M )  e.  NN  ->  ( N  x.  M )  e.  QQ )
1816, 17syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M
)  e.  QQ )
19183adant2 1000 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  QQ )
20 qre 9429 . . . . 5  |-  ( ( N  x.  M )  e.  QQ  ->  ( N  x.  M )  e.  RR )
2119, 20syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  RR )
22 simp1 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2322nncnd 8746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
24 simp3 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
2524nncnd 8746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
2622nnap0d 8778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N #  0 )
2724nnap0d 8778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M #  0 )
2823, 25, 26, 27mulap0d 8431 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M ) #  0 )
29 0z 9077 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
30 zq 9430 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  QQ
32 qapne 9443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  x.  M
)  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( ( N  x.  M ) #  0  <->  ( N  x.  M )  =/=  0
) )
3319, 31, 32sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
) #  0  <->  ( N  x.  M )  =/=  0
) )
3428, 33mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  =/=  0 )
35 qdivcl 9447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  =/=  0 )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  e.  QQ )
368, 19, 34, 35syl3anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  e.  QQ )
3736flqcld 10062 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  e.  ZZ )
3837zred 9185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  e.  RR )
3921, 38remulcld 7808 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) )  e.  RR )
40 nnnn0 8996 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
41 flqmulnn0 10084 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_  ( |_ `  ( N  x.  A
) ) )
4240, 41sylan 281 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_  ( |_ `  ( N  x.  A
) ) )
4322, 11, 42syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( |_ `  A ) )  <_ 
( |_ `  ( N  x.  A )
) )
4410, 15, 39, 43lesub1dd 8335 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) )  <_  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
4522nnred 8745 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
4624nnred 8745 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
4722nngt0d 8776 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  N )
4824nngt0d 8776 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  M )
4945, 46, 47, 48mulgt0d 7897 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  0  <  ( N  x.  M
) )
50 modqval 10109 . . 3  |-  ( ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  e.  QQ  /\  ( N  x.  M )  e.  QQ  /\  0  < 
( N  x.  M
) )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
518, 19, 49, 50syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
52 zq 9430 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  QQ )
5314, 52syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( N  x.  A ) )  e.  QQ )
54 modqval 10109 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  ( N  x.  A )
)  e.  QQ  /\  ( N  x.  M
)  e.  QQ  /\  0  <  ( N  x.  M ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
)  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  /  ( N  x.  M ) ) ) ) ) )
5553, 19, 49, 54syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  -  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
56163adant2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( N  x.  M )  e.  NN )
57 flqdiv 10106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  A
)  e.  QQ  /\  ( N  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  /  ( N  x.  M )
) )  =  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
5813, 56, 57syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  A
)  /  ( N  x.  M ) ) ) )
59 flqdiv 10106 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  M ) )  =  ( |_
`  ( A  /  M ) ) )
60593adant1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  M ) )  =  ( |_ `  ( A  /  M ) ) )
613zcnd 9186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
6211, 61syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
6362, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8589 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  A )  /  M
) )
6463fveq2d 5425 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  M ) ) )
65 qcn 9438 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
6611, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
6766, 25, 23, 27, 26divcanap5d 8589 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  A
)  /  ( N  x.  M ) )  =  ( A  /  M ) )
6867fveq2d 5425 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  ( A  /  M ) ) )
6960, 64, 683eqtr4rd 2183 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( N  x.  A )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
7058, 69eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) )  =  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) )
7170oveq2d 5790 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  /  ( N  x.  M ) ) ) ) )
7271oveq2d 5790 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  /  ( N  x.  M )
) ) ) )  =  ( ( |_
`  ( N  x.  A ) )  -  ( ( N  x.  M )  x.  ( |_ `  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
7355, 72eqtrd 2172 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( N  x.  A )
)  mod  ( N  x.  M ) )  =  ( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  -  (
( N  x.  M
)  x.  ( |_
`  ( ( N  x.  ( |_ `  A ) )  / 
( N  x.  M
) ) ) ) ) )
7444, 51, 733brtr4d 3960 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  QQ  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N  x.  ( |_ `  A ) )  mod  ( N  x.  M ) )  <_ 
( ( |_ `  ( N  x.  A
) )  mod  ( N  x.  M )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632    x. cmul 7637    < clt 7812    <_ cle 7813    - cmin 7945   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   QQcq 9423   |_cfl 10053    mod cmo 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108
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