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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqmulnn | Unicode version |
Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
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modqmulnn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nnq 9275 |
. . . . . 6
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2 | 1 | 3ad2ant1 970 |
. . . . 5
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3 | flqcl 9887 |
. . . . . . 7
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4 | zq 9268 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3ad2ant2 971 |
. . . . 5
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7 | qmulcl 9279 |
. . . . 5
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8 | 2, 6, 7 | syl2anc 406 |
. . . 4
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9 | qre 9267 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | simp2 950 |
. . . . . 6
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12 | qmulcl 9279 |
. . . . . 6
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13 | 2, 11, 12 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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14 | 13 | flqcld 9891 |
. . . 4
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15 | 14 | zred 9025 |
. . 3
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16 | nnmulcl 8599 |
. . . . . . 7
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17 | nnq 9275 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | syl 14 |
. . . . . 6
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19 | 18 | 3adant2 968 |
. . . . 5
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20 | qre 9267 |
. . . . 5
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21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . 4
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22 | simp1 949 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | nncnd 8592 |
. . . . . . . . 9
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24 | simp3 951 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | nncnd 8592 |
. . . . . . . . 9
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26 | 22 | nnap0d 8624 |
. . . . . . . . 9
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27 | 24 | nnap0d 8624 |
. . . . . . . . 9
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28 | 23, 25, 26, 27 | mulap0d 8280 |
. . . . . . . 8
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29 | 0z 8917 |
. . . . . . . . . 10
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30 | zq 9268 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 29, 30 | ax-mp 7 |
. . . . . . . . 9
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32 | qapne 9281 |
. . . . . . . . 9
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33 | 19, 31, 32 | sylancl 407 |
. . . . . . . 8
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34 | 28, 33 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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35 | qdivcl 9285 |
. . . . . . 7
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36 | 8, 19, 34, 35 | syl3anc 1184 |
. . . . . 6
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37 | 36 | flqcld 9891 |
. . . . 5
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38 | 37 | zred 9025 |
. . . 4
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39 | 21, 38 | remulcld 7668 |
. . 3
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40 | nnnn0 8836 |
. . . . 5
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41 | flqmulnn0 9913 |
. . . . 5
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42 | 40, 41 | sylan 279 |
. . . 4
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43 | 22, 11, 42 | syl2anc 406 |
. . 3
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44 | 10, 15, 39, 43 | lesub1dd 8189 |
. 2
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45 | 22 | nnred 8591 |
. . . 4
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46 | 24 | nnred 8591 |
. . . 4
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47 | 22 | nngt0d 8622 |
. . . 4
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48 | 24 | nngt0d 8622 |
. . . 4
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49 | 45, 46, 47, 48 | mulgt0d 7756 |
. . 3
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50 | modqval 9938 |
. . 3
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51 | 8, 19, 49, 50 | syl3anc 1184 |
. 2
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52 | zq 9268 |
. . . . 5
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53 | 14, 52 | syl 14 |
. . . 4
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54 | modqval 9938 |
. . . 4
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55 | 53, 19, 49, 54 | syl3anc 1184 |
. . 3
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56 | 16 | 3adant2 968 |
. . . . . . 7
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57 | flqdiv 9935 |
. . . . . . 7
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58 | 13, 56, 57 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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59 | flqdiv 9935 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | 3adant1 967 |
. . . . . . 7
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61 | 3 | zcnd 9026 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 11, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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63 | 62, 25, 23, 27, 26 | divcanap5d 8438 |
. . . . . . . 8
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64 | 63 | fveq2d 5357 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-n0 8830 df-z 8907 df-q 9262 df-rp 9292 df-fl 9884 df-mod 9937 |
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