Theorem modqmulnn 10487

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulnn	|- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Proof of Theorem modqmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9754	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. QQ )
3		flqcl 10416	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
4		zq 9747	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
6	5	3ad2ant2 1022	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
7		qmulcl 9758	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
9		qre 9746	. . . 4 |- ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
11		simp2 1001	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. QQ )
12		qmulcl 9758	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
13	2, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. A ) e. QQ )
14	13	flqcld 10420	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ )
15	14	zred 9495	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. RR )
16		nnmulcl 9057	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
17		nnq 9754	. . . . . . 7 |- ( ( N x. M ) e. NN -> ( N x. M ) e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
19	18	3adant2 1019	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
20		qre 9746	. . . . 5 |- ( ( N x. M ) e. QQ -> ( N x. M ) e. RR )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. RR )
22		simp1 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. NN )
23	22	nncnd 9050	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. CC )
24		simp3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. NN )
25	24	nncnd 9050	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. CC )
26	22	nnap0d 9082	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N # 0 )
27	24	nnap0d 9082	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M # 0 )
28	23, 25, 26, 27	mulap0d 8731	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) # 0 )
29		0z 9383	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
30		zq 9747	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. QQ
32		qapne 9760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N x. M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
33	19, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) =/= 0 )
35		qdivcl 9764	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ ( N x. M ) =/= 0 ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
36	8, 19, 34, 35	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
37	36	flqcld 10420	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. ZZ )
38	37	zred 9495	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. RR )
39	21, 38	remulcld 8103	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) e. RR )
40		nnnn0 9302	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
41		flqmulnn0 10442	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
42	40, 41	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
43	22, 11, 42	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
44	10, 15, 39, 43	lesub1dd 8634	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
45	22	nnred 9049	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. RR )
46	24	nnred 9049	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. RR )
47	22	nngt0d 9080	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < N )
48	24	nngt0d 9080	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < M )
49	45, 46, 47, 48	mulgt0d 8195	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < ( N x. M ) )
50		modqval 10469	. . 3 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
51	8, 19, 49, 50	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
52		zq 9747	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
53	14, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
54		modqval 10469	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
55	53, 19, 49, 54	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
56	16	3adant2 1019	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
57		flqdiv 10466	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
58	13, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
59		flqdiv 10466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
60	59	3adant1 1018	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
61	3	zcnd 9496	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. CC )
62	11, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
63	62, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8890	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` A ) / M ) )
64	63	fveq2d 5580	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) )
65		qcn 9755	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
66	11, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. CC )
67	66, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8890	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) = ( A / M ) )
68	67	fveq2d 5580	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr4rd 2249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
70	58, 69	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
71	70	oveq2d 5960	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) = ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) )
72	71	oveq2d 5960	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
73	55, 72	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
74	44, 51, 73	3brtr4d 4076	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   QQcq 9740   |_cfl 10411   mod cmo 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468

This theorem is referenced by: (None)