Theorem modqmulnn 10360

Description: Move a positive integer in and out of a floor in the first argument of a modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmulnn	|- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Proof of Theorem modqmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9651	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. QQ )
3		flqcl 10291	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
4		zq 9644	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
6	5	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
7		qmulcl 9655	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
8	2, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ )
9		qre 9643	. . . 4 |- ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. RR )
11		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. QQ )
12		qmulcl 9655	. . . . . 6 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
13	2, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. A ) e. QQ )
14	13	flqcld 10295	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ )
15	14	zred 9393	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. RR )
16		nnmulcl 8958	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
17		nnq 9651	. . . . . . 7 |- ( ( N x. M ) e. NN -> ( N x. M ) e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
19	18	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. QQ )
20		qre 9643	. . . . 5 |- ( ( N x. M ) e. QQ -> ( N x. M ) e. RR )
21	19, 20	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. RR )
22		simp1 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. NN )
23	22	nncnd 8951	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. CC )
24		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. NN )
25	24	nncnd 8951	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. CC )
26	22	nnap0d 8983	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N # 0 )
27	24	nnap0d 8983	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M # 0 )
28	23, 25, 26, 27	mulap0d 8633	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) # 0 )
29		0z 9282	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
30		zq 9644	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 0 e. QQ
32		qapne 9657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N x. M ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
33	19, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) # 0 <-> ( N x. M ) =/= 0 ) )
34	28, 33	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) =/= 0 )
35		qdivcl 9661	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ ( N x. M ) =/= 0 ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
36	8, 19, 34, 35	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) e. QQ )
37	36	flqcld 10295	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. ZZ )
38	37	zred 9393	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) e. RR )
39	21, 38	remulcld 8006	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) e. RR )
40		nnnn0 9201	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
41		flqmulnn0 10317	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
42	40, 41	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
43	22, 11, 42	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )
44	10, 15, 39, 43	lesub1dd 8536	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
45	22	nnred 8950	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> N e. RR )
46	24	nnred 8950	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> M e. RR )
47	22	nngt0d 8981	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < N )
48	24	nngt0d 8981	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < M )
49	45, 46, 47, 48	mulgt0d 8098	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> 0 < ( N x. M ) )
50		modqval 10342	. . 3 |- ( ( ( N x. ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
51	8, 19, 49, 50	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( N x. ( |_ ` A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
52		zq 9644	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
53	14, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ )
54		modqval 10342	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N x. A ) ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. QQ /\ 0 < ( N x. M ) ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
55	53, 19, 49, 54	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
56	16	3adant2 1018	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( N x. M ) e. NN )
57		flqdiv 10339	. . . . . . 7 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
58	13, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) )
59		flqdiv 10339	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
60	59	3adant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
61	3	zcnd 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. CC )
62	11, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
63	62, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8792	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` A ) / M ) )
64	63	fveq2d 5534	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / M ) ) )
65		qcn 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
66	11, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> A e. CC )
67	66, 25, 23, 27, 26	divcanap5d 8792	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) = ( A / M ) )
68	67	fveq2d 5534	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( A / M ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr4rd 2233	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( N x. A ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
70	58, 69	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) )
71	70	oveq2d 5907	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) = ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) )
72	71	oveq2d 5907	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( |_ ` ( N x. A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
73	55, 72	eqtrd 2222	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) = ( ( |_ ` ( N x. A ) ) - ( ( N x. M ) x. ( |_ ` ( ( N x. ( |_ ` A ) ) / ( N x. M ) ) ) ) ) )
74	44, 51, 73	3brtr4d 4050	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. QQ /\ M e. NN ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) mod ( N x. M ) ) <_ ( ( |_ ` ( N x. A ) ) mod ( N x. M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7827   RRcr 7828   0cc0 7829   x. cmul 7834   < clt 8010   <_ cle 8011   - cmin 8146   # cap 8556   / cdiv 8647   NNcn 8937   NN0cn0 9194   ZZcz 9271   QQcq 9637   |_cfl 10286   mod cmo 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-q 9638  df-rp 9672  df-fl 10288  df-mod 10341

This theorem is referenced by: (None)