Theorem negdi2 8577

Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
negdi2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A + B ) = ( -u A - B ) )

Proof of Theorem negdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negdi 8576	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A + B ) = ( -u A + -u B ) )
2		negcl 8519	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
3		negsub 8567	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A + -u B ) = ( -u A - B ) )
4	2, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A + -u B ) = ( -u A - B ) )
5	1, 4	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A + B ) = ( -u A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   CCcc 8170   + caddc 8175   - cmin 8490   -ucneg 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-sub 8492  df-neg 8493

This theorem is referenced by:  negdi2d  8644  ex-fl  16656