ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negsubdi2 Unicode version

Theorem negsubdi2 8165
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem negsubdi2
StepHypRef Expression
1 negsubdi 8162 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  (
-u A  +  B
) )
2 negcl 8106 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
3 addcom 8043 . . 3  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  +  B )  =  ( B  +  -u A
) )
42, 3sylan 281 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  +  B )  =  ( B  +  -u A
) )
5 negsub 8154 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  +  -u A )  =  ( B  -  A ) )
65ancoms 266 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  -u A )  =  ( B  -  A ) )
71, 4, 63eqtrd 2207 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  -  B )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5850   CCcc 7759    + caddc 7764    - cmin 8077   -ucneg 8078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079  df-neg 8080
This theorem is referenced by:  neg2sub  8166  negsubdi2d  8233  subeqrev  8282  mulsub2  8308  div2subap  8741  elz2  9270  fzshftral  10051  sqsubswap  10523  abssub  11052  abs2difabs  11059  dvdsprmpweqle  12277  sin2pim  13449  cos2pim  13450  ptolemy  13460
  Copyright terms: Public domain W3C validator