Theorem negsubdi2 8219

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( B - A ) )

Proof of Theorem negsubdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubdi 8216	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( -u A + B ) )
2		negcl 8160	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
3		addcom 8097	. . 3 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A + B ) = ( B + -u A ) )
4	2, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A + B ) = ( B + -u A ) )
5		negsub 8208	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + -u A ) = ( B - A ) )
6	5	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + -u A ) = ( B - A ) )
7	1, 4, 6	3eqtrd 2214	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - B ) = ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5878   CCcc 7812   + caddc 7817   - cmin 8131   -ucneg 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-neg 8134

This theorem is referenced by:  neg2sub  8220  negsubdi2d  8287  subeqrev  8336  mulsub2  8362  div2subap  8797  elz2  9327  fzshftral  10111  sqsubswap  10583  abssub  11113  abs2difabs  11120  dvdsprmpweqle  12339  sin2pim  14395  cos2pim  14396  ptolemy  14406