ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl Unicode version

Theorem ex-fl 12360
Description: Example for df-fl 9826. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7584 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 3re 8594 . . . . 5  |-  3  e.  RR
32rehalfcli 8762 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
4 2cn 8591 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54mulid2i 7588 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6 2lt3 8684 . . . . . 6  |-  2  <  3
75, 6eqbrtri 3886 . . . . 5  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
8 2pos 8611 . . . . . 6  |-  0  <  2
9 2re 8590 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
101, 2, 9ltmuldivi 8480 . . . . . 6  |-  ( 0  <  2  ->  (
( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  / 
2 ) ) )
118, 10ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
127, 11mpbi 144 . . . 4  |-  1  <  ( 3  /  2
)
131, 3, 12ltleii 7684 . . 3  |-  1  <_  ( 3  /  2
)
14 3lt4 8686 . . . . . 6  |-  3  <  4
15 2t2e4 8668 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15breqtrri 3892 . . . . 5  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
179, 8pm3.2i 267 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
18 ltdivmul 8434 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
192, 9, 17, 18mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2016, 19mpbir 145 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  <  2
21 df-2 8579 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2220, 21breqtri 3890 . . 3  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
23 3z 8877 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
24 2nn 8675 . . . . 5  |-  2  e.  NN
25 znq 9208 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 3  /  2
)  e.  QQ )
2623, 24, 25mp2an 418 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  QQ
27 1z 8874 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
28 flqbi 9846 . . . 4  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 3  /  2
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  (
3  /  2 )  /\  ( 3  / 
2 )  <  (
1  +  1 ) ) ) )
2926, 27, 28mp2an 418 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) ) )
3013, 22, 29mpbir2an 891 . 2  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  1
319renegcli 7841 . . . 4  |-  -u 2  e.  RR
323renegcli 7841 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
333, 9ltnegi 8068 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  -u 2  <  -u ( 3  /  2
) )
3420, 33mpbi 144 . . . 4  |-  -u 2  <  -u ( 3  / 
2 )
3531, 32, 34ltleii 7684 . . 3  |-  -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )
364negcli 7847 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  CC
37 ax-1cn 7535 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
38 negdi2 7837 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 ) )
3936, 37, 38mp2an 418 . . . . . 6  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 )
404negnegi 7849 . . . . . . 7  |-  -u -u 2  =  2
4140oveq1i 5700 . . . . . 6  |-  ( -u -u 2  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
4239, 41eqtri 2115 . . . . 5  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( 2  -  1 )
43 2m1e1 8638 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4443, 12eqbrtri 3886 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  < 
( 3  /  2
)
4542, 44eqbrtri 3886 . . . 4  |-  -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  / 
2 )
4631, 1readdcli 7598 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  1 )  e.  RR
4746, 3ltnegcon1i 8074 . . . 4  |-  ( -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  /  2 )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( -u 2  +  1 ) )
4845, 47mpbi 144 . . 3  |-  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 )
49 qnegcl 9220 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  e.  QQ  ->  -u (
3  /  2 )  e.  QQ )
5026, 49ax-mp 7 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  QQ
51 2z 8876 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
52 znegcl 8879 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
5351, 52ax-mp 7 . . . 4  |-  -u 2  e.  ZZ
54 flqbi 9846 . . . 4  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  QQ  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2  <->  ( -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )  /\  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) ) )
5550, 53, 54mp2an 418 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  <->  (
-u 2  <_  -u (
3  /  2 )  /\  -u ( 3  / 
2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) )
5635, 48, 55mpbir2an 891 . 2  |-  ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2
5730, 56pm3.2i 267 1  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448    + caddc 7450    x. cmul 7452    < clt 7619    <_ cle 7620    - cmin 7750   -ucneg 7751    / cdiv 8236   NNcn 8520   2c2 8571   3c3 8572   4c4 8573   ZZcz 8848   QQcq 9203   |_cfl 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826
This theorem is referenced by:  ex-ceil  12361
  Copyright terms: Public domain W3C validator