Theorem ex-fl 13108

Description: Example for df-fl 10074. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	|- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7789	. . . 4 |- 1 e. RR
2		3re 8818	. . . . 5 |- 3 e. RR
3	2	rehalfcli 8992	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. RR
4		2cn 8815	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	mulid2i 7793	. . . . . 6 |- ( 1 x. 2 ) = 2
6		2lt3 8914	. . . . . 6 |- 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3957	. . . . 5 |- ( 1 x. 2 ) < 3
8		2pos 8835	. . . . . 6 |- 0 < 2
9		2re 8814	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8704	. . . . . 6 |- ( 0 < 2 -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 |- 1 < ( 3 / 2 )
13	1, 3, 12	ltleii 7890	. . 3 |- 1 <_ ( 3 / 2 )
14		3lt4 8916	. . . . . 6 |- 3 < 4
15		2t2e4 8898	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	breqtrri 3963	. . . . 5 |- 3 < ( 2 x. 2 )
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
18		ltdivmul 8658	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1316	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) < 2
21		df-2 8803	. . . 4 |- 2 = ( 1 + 1 )
22	20, 21	breqtri 3961	. . 3 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
23		3z 9107	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
24		2nn 8905	. . . . 5 |- 2 e. NN
25		znq 9443	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 3 / 2 ) e. QQ )
26	23, 24, 25	mp2an 423	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. QQ
27		1z 9104	. . . 4 |- 1 e. ZZ
28		flqbi 10094	. . . 4 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 423	. . 3 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) )
30	13, 22, 29	mpbir2an 927	. 2 |- ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1
31	9	renegcli 8048	. . . 4 |- -u 2 e. RR
32	3	renegcli 8048	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
33	3, 9	ltnegi 8279	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> -u 2 < -u ( 3 / 2 ) )
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 |- -u 2 < -u ( 3 / 2 )
35	31, 32, 34	ltleii 7890	. . 3 |- -u 2 <_ -u ( 3 / 2 )
36	4	negcli 8054	. . . . . . 7 |- -u 2 e. CC
37		ax-1cn 7737	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
38		negdi2 8044	. . . . . . 7 |- ( ( -u 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 ) )
39	36, 37, 38	mp2an 423	. . . . . 6 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 )
40	4	negnegi 8056	. . . . . . 7 |- -u -u 2 = 2
41	40	oveq1i 5792	. . . . . 6 |- ( -u -u 2 - 1 ) = ( 2 - 1 )
42	39, 41	eqtri 2161	. . . . 5 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( 2 - 1 )
43		2m1e1 8862	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3957	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) < ( 3 / 2 )
45	42, 44	eqbrtri 3957	. . . 4 |- -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 )
46	31, 1	readdcli 7803	. . . . 5 |- ( -u 2 + 1 ) e. RR
47	46, 3	ltnegcon1i 8285	. . . 4 |- ( -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) )
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 |- -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 )
49		qnegcl 9455	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) e. QQ -> -u ( 3 / 2 ) e. QQ )
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. QQ
51		2z 9106	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
52		znegcl 9109	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- -u 2 e. ZZ
54		flqbi 10094	. . . 4 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. QQ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) ) )
55	50, 53, 54	mp2an 423	. . 3 |- ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) )
56	35, 48, 55	mpbir2an 927	. 2 |- ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   -ucneg 7958   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   3c3 8796   4c4 8797   ZZcz 9078   QQcq 9438   |_cfl 10072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074

This theorem is referenced by:  ex-ceil  13109