ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fl Unicode version

Theorem ex-fl 12990
Description: Example for df-fl 10050. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 7772 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 3re 8801 . . . . 5  |-  3  e.  RR
32rehalfcli 8975 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  RR
4 2cn 8798 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54mulid2i 7776 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6 2lt3 8897 . . . . . 6  |-  2  <  3
75, 6eqbrtri 3949 . . . . 5  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
8 2pos 8818 . . . . . 6  |-  0  <  2
9 2re 8797 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
101, 2, 9ltmuldivi 8687 . . . . . 6  |-  ( 0  <  2  ->  (
( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  / 
2 ) ) )
118, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
127, 11mpbi 144 . . . 4  |-  1  <  ( 3  /  2
)
131, 3, 12ltleii 7873 . . 3  |-  1  <_  ( 3  /  2
)
14 3lt4 8899 . . . . . 6  |-  3  <  4
15 2t2e4 8881 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1614, 15breqtrri 3955 . . . . 5  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
179, 8pm3.2i 270 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
18 ltdivmul 8641 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
192, 9, 17, 18mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2016, 19mpbir 145 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  <  2
21 df-2 8786 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2220, 21breqtri 3953 . . 3  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
23 3z 9090 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
24 2nn 8888 . . . . 5  |-  2  e.  NN
25 znq 9423 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( 3  /  2
)  e.  QQ )
2623, 24, 25mp2an 422 . . . 4  |-  ( 3  /  2 )  e.  QQ
27 1z 9087 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
28 flqbi 10070 . . . 4  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  QQ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 3  /  2
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  (
3  /  2 )  /\  ( 3  / 
2 )  <  (
1  +  1 ) ) ) )
2926, 27, 28mp2an 422 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) ) )
3013, 22, 29mpbir2an 926 . 2  |-  ( |_
`  ( 3  / 
2 ) )  =  1
319renegcli 8031 . . . 4  |-  -u 2  e.  RR
323renegcli 8031 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  RR
333, 9ltnegi 8262 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  -u 2  <  -u ( 3  /  2
) )
3420, 33mpbi 144 . . . 4  |-  -u 2  <  -u ( 3  / 
2 )
3531, 32, 34ltleii 7873 . . 3  |-  -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )
364negcli 8037 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  CC
37 ax-1cn 7720 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
38 negdi2 8027 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 ) )
3936, 37, 38mp2an 422 . . . . . 6  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( -u -u 2  -  1 )
404negnegi 8039 . . . . . . 7  |-  -u -u 2  =  2
4140oveq1i 5784 . . . . . 6  |-  ( -u -u 2  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
4239, 41eqtri 2160 . . . . 5  |-  -u ( -u 2  +  1 )  =  ( 2  -  1 )
43 2m1e1 8845 . . . . . 6  |-  ( 2  -  1 )  =  1
4443, 12eqbrtri 3949 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  < 
( 3  /  2
)
4542, 44eqbrtri 3949 . . . 4  |-  -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  / 
2 )
4631, 1readdcli 7786 . . . . 5  |-  ( -u
2  +  1 )  e.  RR
4746, 3ltnegcon1i 8268 . . . 4  |-  ( -u ( -u 2  +  1 )  <  ( 3  /  2 )  <->  -u ( 3  /  2 )  < 
( -u 2  +  1 ) )
4845, 47mpbi 144 . . 3  |-  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 )
49 qnegcl 9435 . . . . 5  |-  ( ( 3  /  2 )  e.  QQ  ->  -u (
3  /  2 )  e.  QQ )
5026, 49ax-mp 5 . . . 4  |-  -u (
3  /  2 )  e.  QQ
51 2z 9089 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
52 znegcl 9092 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
5351, 52ax-mp 5 . . . 4  |-  -u 2  e.  ZZ
54 flqbi 10070 . . . 4  |-  ( (
-u ( 3  / 
2 )  e.  QQ  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2  <->  ( -u 2  <_ 
-u ( 3  / 
2 )  /\  -u (
3  /  2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) ) )
5550, 53, 54mp2an 422 . . 3  |-  ( ( |_ `  -u (
3  /  2 ) )  =  -u 2  <->  (
-u 2  <_  -u (
3  /  2 )  /\  -u ( 3  / 
2 )  <  ( -u 2  +  1 ) ) )
5635, 48, 55mpbir2an 926 . 2  |-  ( |_
`  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2
5730, 56pm3.2i 270 1  |-  ( ( |_ `  ( 3  /  2 ) )  =  1  /\  ( |_ `  -u ( 3  / 
2 ) )  = 
-u 2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   -ucneg 7941    / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   3c3 8779   4c4 8780   ZZcz 9061   QQcq 9418   |_cfl 10048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050
This theorem is referenced by:  ex-ceil  12991
  Copyright terms: Public domain W3C validator