Theorem negdi 8518

Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negdi	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A + B ) = ( -u A + -u B ) )

Proof of Theorem negdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subneg 8510	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
2	1	negeqd 8456	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - -u B ) = -u ( A + B ) )
3		negcl 8461	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
4		negsubdi 8517	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> -u ( A - -u B ) = ( -u A + -u B ) )
5	3, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A - -u B ) = ( -u A + -u B ) )
6	2, 5	eqtr3d 2267	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u ( A + B ) = ( -u A + -u B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6041   CCcc 8113   + caddc 8118   - cmin 8432   -ucneg 8433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-setind 4650  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-sub 8434  df-neg 8435

This theorem is referenced by:  negdi2  8519  negdid  8585  mulsub  8662  zeo  9669  xnegdi  10187  mulgneg2  13847