Theorem negdi2 7687

Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
negdi2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem negdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negdi 7686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
2		negcl 7629	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3		negsub 7677	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + -𝐵) = (-𝐴 − 𝐵))
4	2, 3	sylan 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + -𝐵) = (-𝐴 − 𝐵))
5	1, 4	eqtrd 2117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  (class class class)co 5615  ℂcc 7295   + caddc 7300   − cmin 7600  -cneg 7601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-setind 4328  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-sub 7602  df-neg 7603

This theorem is referenced by:  negdi2d  7754  ex-fl  11122