Theorem negcl 8520

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8494	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8312	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8519	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 428	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   - cmin 8491   -ucneg 8492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-sub 8493  df-neg 8494

This theorem is used by:  negicn  8521  negcon1  8572  negdi  8577  negdi2  8578  negsubdi2  8579  neg2sub  8580  negcli  8588  negcld  8618  mulneg2  8717  mul2neg  8719  mulsub  8722  apsub1  8964  subap0  8965  divnegap  9030  divsubdirap  9032  divsubdivap  9052  eqneg  9056  div2negap  9059  divneg2ap  9060  zeo  9734  sqneg  11018  binom2sub  11073  shftval4  11576  shftcan1  11582  shftcan2  11583  crim  11606  resub  11618  imsub  11626  cjneg  11638  cjsub  11640  absneg  11799  abs2dif2  11856  subcn2  12060  efcan  12426  efap0  12427  efne0  12428  efneg  12429  efsub  12431  sinneg  12476  cosneg  12477  tannegap  12478  efmival  12483  sinsub  12490  cossub  12491  sincossq  12498  cncrng  14889  cnfldneg  14893  sin2pim  15897  cos2pim  15898  rpcxpsub  15993