Theorem negcl 8307

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8281	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8099	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8306	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2294	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   - cmin 8278   -ucneg 8279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281

This theorem is referenced by:  negicn  8308  negcon1  8359  negdi  8364  negdi2  8365  negsubdi2  8366  neg2sub  8367  negcli  8375  negcld  8405  mulneg2  8503  mul2neg  8505  mulsub  8508  apsub1  8750  subap0  8751  divnegap  8814  divsubdirap  8816  divsubdivap  8836  eqneg  8840  div2negap  8843  divneg2ap  8844  zeo  9513  sqneg  10780  binom2sub  10835  shftval4  11254  shftcan1  11260  shftcan2  11261  crim  11284  resub  11296  imsub  11304  cjneg  11316  cjsub  11318  absneg  11476  abs2dif2  11533  subcn2  11737  efcan  12102  efap0  12103  efne0  12104  efneg  12105  efsub  12107  sinneg  12152  cosneg  12153  tannegap  12154  efmival  12159  sinsub  12166  cossub  12167  sincossq  12174  cncrng  14446  cnfldneg  14450  sin2pim  15400  cos2pim  15401  rpcxpsub  15495