Theorem negcl 8528

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8502	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8319	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8527	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 428	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   0cc0 8180   - cmin 8499   -ucneg 8500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-neg 8502

This theorem is used by:  negicn  8529  negcon1  8580  negdi  8585  negdi2  8586  negsubdi2  8587  neg2sub  8588  negcli  8596  negcld  8626  mulneg2  8725  mul2neg  8727  mulsub  8730  apsub1  8973  subap0  8974  divnegap  9039  divsubdirap  9041  divsubdivap  9061  eqneg  9065  div2negap  9068  divneg2ap  9069  zeo  9756  sqneg  11050  binom2sub  11105  shftval4  11609  shftcan1  11615  shftcan2  11616  crim  11639  resub  11651  imsub  11659  cjneg  11671  cjsub  11673  absneg  11832  abs2dif2  11890  subcn2  12096  efcan  12462  efap0  12463  efne0  12464  efneg  12465  efsub  12467  sinneg  12512  cosneg  12513  tannegap  12514  efmival  12519  sinsub  12526  cossub  12527  sincossq  12534  cncrng  14990  cnfldneg  14994  sin2pim  16006  cos2pim  16007  rpcxpsub  16105