Theorem negcl 8272

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8246	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8064	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8271	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2292	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   - cmin 8243   -ucneg 8244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  negicn  8273  negcon1  8324  negdi  8329  negdi2  8330  negsubdi2  8331  neg2sub  8332  negcli  8340  negcld  8370  mulneg2  8468  mul2neg  8470  mulsub  8473  apsub1  8715  subap0  8716  divnegap  8779  divsubdirap  8781  divsubdivap  8801  eqneg  8805  div2negap  8808  divneg2ap  8809  zeo  9478  sqneg  10743  binom2sub  10798  shftval4  11139  shftcan1  11145  shftcan2  11146  crim  11169  resub  11181  imsub  11189  cjneg  11201  cjsub  11203  absneg  11361  abs2dif2  11418  subcn2  11622  efcan  11987  efap0  11988  efne0  11989  efneg  11990  efsub  11992  sinneg  12037  cosneg  12038  tannegap  12039  efmival  12044  sinsub  12051  cossub  12052  sincossq  12059  cncrng  14331  cnfldneg  14335  sin2pim  15285  cos2pim  15286  rpcxpsub  15380