Theorem negcl 8219

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8193	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8011	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8218	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2280	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   - cmin 8190   -ucneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  negicn  8220  negcon1  8271  negdi  8276  negdi2  8277  negsubdi2  8278  neg2sub  8279  negcli  8287  negcld  8317  mulneg2  8415  mul2neg  8417  mulsub  8420  apsub1  8661  subap0  8662  divnegap  8725  divsubdirap  8727  divsubdivap  8747  eqneg  8751  div2negap  8754  divneg2ap  8755  zeo  9422  sqneg  10669  binom2sub  10724  shftval4  10972  shftcan1  10978  shftcan2  10979  crim  11002  resub  11014  imsub  11022  cjneg  11034  cjsub  11036  absneg  11194  abs2dif2  11251  subcn2  11454  efcan  11819  efap0  11820  efne0  11821  efneg  11822  efsub  11824  sinneg  11869  cosneg  11870  tannegap  11871  efmival  11876  sinsub  11883  cossub  11884  sincossq  11891  cncrng  14057  cnfldneg  14061  sin2pim  14948  cos2pim  14949  rpcxpsub  15043