Theorem negcl 8157

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8131	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 7949	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8156	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2264	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   - cmin 8128   -ucneg 8129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131

This theorem is referenced by:  negicn  8158  negcon1  8209  negdi  8214  negdi2  8215  negsubdi2  8216  neg2sub  8217  negcli  8225  negcld  8255  mulneg2  8353  mul2neg  8355  mulsub  8358  apsub1  8599  subap0  8600  divnegap  8663  divsubdirap  8665  divsubdivap  8685  eqneg  8689  div2negap  8692  divneg2ap  8693  zeo  9358  sqneg  10579  binom2sub  10634  shftval4  10837  shftcan1  10843  shftcan2  10844  crim  10867  resub  10879  imsub  10887  cjneg  10899  cjsub  10901  absneg  11059  abs2dif2  11116  subcn2  11319  efcan  11684  efap0  11685  efne0  11686  efneg  11687  efsub  11689  sinneg  11734  cosneg  11735  tannegap  11736  efmival  11741  sinsub  11748  cossub  11749  sincossq  11756  cncrng  13466  cnfldneg  13470  sin2pim  14237  cos2pim  14238  rpcxpsub  14332