Theorem negcl 8226

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8200	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8018	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8225	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2283	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   - cmin 8197   -ucneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by:  negicn  8227  negcon1  8278  negdi  8283  negdi2  8284  negsubdi2  8285  neg2sub  8286  negcli  8294  negcld  8324  mulneg2  8422  mul2neg  8424  mulsub  8427  apsub1  8669  subap0  8670  divnegap  8733  divsubdirap  8735  divsubdivap  8755  eqneg  8759  div2negap  8762  divneg2ap  8763  zeo  9431  sqneg  10690  binom2sub  10745  shftval4  10993  shftcan1  10999  shftcan2  11000  crim  11023  resub  11035  imsub  11043  cjneg  11055  cjsub  11057  absneg  11215  abs2dif2  11272  subcn2  11476  efcan  11841  efap0  11842  efne0  11843  efneg  11844  efsub  11846  sinneg  11891  cosneg  11892  tannegap  11893  efmival  11898  sinsub  11905  cossub  11906  sincossq  11913  cncrng  14125  cnfldneg  14129  sin2pim  15049  cos2pim  15050  rpcxpsub  15144