Theorem negcl 8274

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8248	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8066	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8273	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2292	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   0cc0 7927   - cmin 8245   -ucneg 8246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248

This theorem is referenced by:  negicn  8275  negcon1  8326  negdi  8331  negdi2  8332  negsubdi2  8333  neg2sub  8334  negcli  8342  negcld  8372  mulneg2  8470  mul2neg  8472  mulsub  8475  apsub1  8717  subap0  8718  divnegap  8781  divsubdirap  8783  divsubdivap  8803  eqneg  8807  div2negap  8810  divneg2ap  8811  zeo  9480  sqneg  10745  binom2sub  10800  shftval4  11172  shftcan1  11178  shftcan2  11179  crim  11202  resub  11214  imsub  11222  cjneg  11234  cjsub  11236  absneg  11394  abs2dif2  11451  subcn2  11655  efcan  12020  efap0  12021  efne0  12022  efneg  12023  efsub  12025  sinneg  12070  cosneg  12071  tannegap  12072  efmival  12077  sinsub  12084  cossub  12085  sincossq  12092  cncrng  14364  cnfldneg  14368  sin2pim  15318  cos2pim  15319  rpcxpsub  15413