Theorem negcl 8175

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8149	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 7967	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8174	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2276	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829   - cmin 8146   -ucneg 8147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8148  df-neg 8149

This theorem is referenced by:  negicn  8176  negcon1  8227  negdi  8232  negdi2  8233  negsubdi2  8234  neg2sub  8235  negcli  8243  negcld  8273  mulneg2  8371  mul2neg  8373  mulsub  8376  apsub1  8617  subap0  8618  divnegap  8681  divsubdirap  8683  divsubdivap  8703  eqneg  8707  div2negap  8710  divneg2ap  8711  zeo  9376  sqneg  10597  binom2sub  10652  shftval4  10855  shftcan1  10861  shftcan2  10862  crim  10885  resub  10897  imsub  10905  cjneg  10917  cjsub  10919  absneg  11077  abs2dif2  11134  subcn2  11337  efcan  11702  efap0  11703  efne0  11704  efneg  11705  efsub  11707  sinneg  11752  cosneg  11753  tannegap  11754  efmival  11759  sinsub  11766  cossub  11767  sincossq  11774  cncrng  13833  cnfldneg  13837  sin2pim  14618  cos2pim  14619  rpcxpsub  14713