Theorem negcl 8489

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8463	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 8282	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 8488	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 424	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrid 2321	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   - cmin 8460   -ucneg 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  negicn  8490  negcon1  8541  negdi  8546  negdi2  8547  negsubdi2  8548  neg2sub  8549  negcli  8557  negcld  8587  mulneg2  8686  mul2neg  8688  mulsub  8691  apsub1  8933  subap0  8934  divnegap  8997  divsubdirap  8999  divsubdivap  9019  eqneg  9023  div2negap  9026  divneg2ap  9027  zeo  9701  sqneg  10984  binom2sub  11039  shftval4  11538  shftcan1  11544  shftcan2  11545  crim  11568  resub  11580  imsub  11588  cjneg  11600  cjsub  11602  absneg  11760  abs2dif2  11817  subcn2  12021  efcan  12387  efap0  12388  efne0  12389  efneg  12390  efsub  12392  sinneg  12437  cosneg  12438  tannegap  12439  efmival  12444  sinsub  12451  cossub  12452  sincossq  12459  cncrng  14843  cnfldneg  14847  sin2pim  15804  cos2pim  15805  rpcxpsub  15899