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Theorem dedekindicclemlu 15441
Description: Lemma for dedekindicc 15444. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r   ph, q, r, x
Allowed substitution hint:   U( x)
Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 15440 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
13 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. L )
143ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> L C_ ( A [,] B ) )
1514, 13sseldd 3229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. ( A [,] B ) )
16 rsp 2580 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> E. r e. L q < r )
21 iccssre 10251 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
2322ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
2415adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. RR )
263ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> L C_ ( A [,] B ) )
27 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. L )
2826, 27sseldd 3229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. RR )
30 simp-4r 544 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. RR )
32 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < r )
33 breq2 4097 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x < y <-> x < r ) )
3433notbid 673 . . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( -. x < y <-> -. x < r ) )
35 simprl 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3734, 36, 27rspcdva 2916 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> -. x < r )
3829, 31, 37nltled 8359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r <_ x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8662 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < x )
4020, 39rexlimddv 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q < x )
4140ralrimiva 2606 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. q e. L q < x )
42 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. U )
43 simplll 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ph )
444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
4544, 42sseldd 3229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. ( A [,] B ) )
46 rsp 2580 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
4942, 48mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> E. q e. U q < r )
5022ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
51 simp-4r 544 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. RR )
534ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> U C_ ( A [,] B ) )
54 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. U )
5553, 54sseldd 3229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. RR )
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. RR )
5954adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. U )
6043ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ph )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q < x )
62 breq1 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( y < x <-> q < x ) )
63 breq1 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = q -> ( y < z <-> q < z ) )
6463rexbidv 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( E. z e. L y < z <-> E. z e. L q < z ) )
6562, 64imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = q -> ( ( y < x -> E. z e. L y < z ) <-> ( q < x -> E. z e. L q < z ) ) )
66 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6855adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. ( A [,] B ) )
6965, 67, 68rspcdva 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q < x -> E. z e. L q < z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. z e. L q < z )
71 breq2 4097 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = r -> ( q < z <-> q < r ) )
7271cbvrexv 2769 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. L q < z <-> E. r e. L q < r )
7370, 72sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. r e. L q < r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
7573, 74mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. L )
76 disj 3545 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L i^i U ) = (/) <-> A. q e. L -. q e. U )
779, 76sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. q e. L -. q e. U )
7877r19.21bi 2621 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. L ) -> -. q e. U )
7960, 75, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> -. q e. U )
8059, 79pm2.65da 667 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> -. q < x )
8152, 56, 80nltled 8359 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x <_ q )
82 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q < r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8363 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x < r )
8449, 83rexlimddv 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> x < r )
8584ralrimiva 2606 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. r e. U x < r )
8641, 85jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
8786ex 115 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8887reximdva 2635 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8912, 88mpd 13 1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   < clt 8273   [,]cicc 10187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-icc 10191  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639
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