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Theorem dedekindicclemlu 15495
Description: Lemma for dedekindicc 15498. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r   ph, q, r, x
Allowed substitution hint:   U( x)
Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 15494 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
13 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. L )
143ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> L C_ ( A [,] B ) )
1514, 13sseldd 3239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. ( A [,] B ) )
16 rsp 2589 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> E. r e. L q < r )
21 iccssre 10288 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
2322ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
2415adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. RR )
263ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> L C_ ( A [,] B ) )
27 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. L )
2826, 27sseldd 3239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. RR )
30 simp-4r 544 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. RR )
32 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < r )
33 breq2 4113 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x < y <-> x < r ) )
3433notbid 673 . . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( -. x < y <-> -. x < r ) )
35 simprl 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3734, 36, 27rspcdva 2926 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> -. x < r )
3829, 31, 37nltled 8394 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r <_ x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8697 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < x )
4020, 39rexlimddv 2665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q < x )
4140ralrimiva 2615 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. q e. L q < x )
42 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. U )
43 simplll 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ph )
444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
4544, 42sseldd 3239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. ( A [,] B ) )
46 rsp 2589 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
4942, 48mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> E. q e. U q < r )
5022ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
51 simp-4r 544 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. RR )
534ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> U C_ ( A [,] B ) )
54 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. U )
5553, 54sseldd 3239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. RR )
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. RR )
5954adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. U )
6043ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ph )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q < x )
62 breq1 4112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( y < x <-> q < x ) )
63 breq1 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = q -> ( y < z <-> q < z ) )
6463rexbidv 2543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( E. z e. L y < z <-> E. z e. L q < z ) )
6562, 64imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = q -> ( ( y < x -> E. z e. L y < z ) <-> ( q < x -> E. z e. L q < z ) ) )
66 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6855adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. ( A [,] B ) )
6965, 67, 68rspcdva 2926 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q < x -> E. z e. L q < z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. z e. L q < z )
71 breq2 4113 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = r -> ( q < z <-> q < r ) )
7271cbvrexv 2779 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. L q < z <-> E. r e. L q < r )
7370, 72sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. r e. L q < r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
7573, 74mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. L )
76 disj 3557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L i^i U ) = (/) <-> A. q e. L -. q e. U )
779, 76sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. q e. L -. q e. U )
7877r19.21bi 2630 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. L ) -> -. q e. U )
7960, 75, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> -. q e. U )
8059, 79pm2.65da 667 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> -. q < x )
8152, 56, 80nltled 8394 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x <_ q )
82 simprr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q < r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8398 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x < r )
8449, 83rexlimddv 2665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> x < r )
8584ralrimiva 2615 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. r e. U x < r )
8641, 85jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
8786ex 115 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8887reximdva 2644 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8912, 88mpd 13 1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   < clt 8308   [,]cicc 10224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-icc 10228  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684
This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  15497
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