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Theorem dedekindicclemlu 15298
Description: Lemma for dedekindicc 15301. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r   ph, q, r, x
Allowed substitution hint:   U( x)
Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 15297 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
13 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. L )
143ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> L C_ ( A [,] B ) )
1514, 13sseldd 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. ( A [,] B ) )
16 rsp 2577 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> E. r e. L q < r )
21 iccssre 10147 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
2322ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
2415adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. RR )
263ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> L C_ ( A [,] B ) )
27 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. L )
2826, 27sseldd 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. RR )
30 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. RR )
32 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < r )
33 breq2 4086 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x < y <-> x < r ) )
3433notbid 671 . . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( -. x < y <-> -. x < r ) )
35 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3734, 36, 27rspcdva 2912 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> -. x < r )
3829, 31, 37nltled 8263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r <_ x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8566 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < x )
4020, 39rexlimddv 2653 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q < x )
4140ralrimiva 2603 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. q e. L q < x )
42 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. U )
43 simplll 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ph )
444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
4544, 42sseldd 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. ( A [,] B ) )
46 rsp 2577 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
4942, 48mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> E. q e. U q < r )
5022ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
51 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. RR )
534ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> U C_ ( A [,] B ) )
54 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. U )
5553, 54sseldd 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. RR )
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3225 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. RR )
5954adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. U )
6043ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ph )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q < x )
62 breq1 4085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( y < x <-> q < x ) )
63 breq1 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = q -> ( y < z <-> q < z ) )
6463rexbidv 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( E. z e. L y < z <-> E. z e. L q < z ) )
6562, 64imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = q -> ( ( y < x -> E. z e. L y < z ) <-> ( q < x -> E. z e. L q < z ) ) )
66 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6855adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. ( A [,] B ) )
6965, 67, 68rspcdva 2912 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q < x -> E. z e. L q < z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. z e. L q < z )
71 breq2 4086 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = r -> ( q < z <-> q < r ) )
7271cbvrexv 2766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. L q < z <-> E. r e. L q < r )
7370, 72sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. r e. L q < r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
7573, 74mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. L )
76 disj 3540 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L i^i U ) = (/) <-> A. q e. L -. q e. U )
779, 76sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. q e. L -. q e. U )
7877r19.21bi 2618 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. L ) -> -. q e. U )
7960, 75, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> -. q e. U )
8059, 79pm2.65da 665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> -. q < x )
8152, 56, 80nltled 8263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x <_ q )
82 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q < r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8267 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x < r )
8449, 83rexlimddv 2653 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> x < r )
8584ralrimiva 2603 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. r e. U x < r )
8641, 85jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
8786ex 115 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8887reximdva 2632 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8912, 88mpd 13 1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   < clt 8177   [,]cicc 10083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-icc 10087  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505
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