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Theorem dedekindicclemlu 13248
Description: Lemma for dedekindicc 13251. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r    ph, q, r, x
Allowed substitution hint:    U( x)

Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 13247 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )
13 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  L )
143ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
1514, 13sseldd 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  ( A [,] B
) )
16 rsp 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r )  ->  ( q  e.  ( A [,] B
)  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( q  e.  ( A [,] B )  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1817ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  (
q  e.  ( A [,] B )  -> 
( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  (
q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2013, 19mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
21 iccssre 9891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
221, 2, 21syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2322ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
2415adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
263ad4antr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
27 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  L )
2826, 27sseldd 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
30 simp-4r 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
32 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
33 breq2 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  r  ->  (
x  <  y  <->  x  <  r ) )
3433notbid 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  r  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  r ) )
35 simprl 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
3635ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
3734, 36, 27rspcdva 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  -.  x  <  r )
3829, 31, 37nltled 8019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  <_  x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  x )
4020, 39rexlimddv 2588 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  <  x )
4140ralrimiva 2539 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. q  e.  L  q  <  x )
42 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  U )
43 simplll 523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  ph )
444ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
4544, 42sseldd 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  ( A [,] B
) )
46 rsp 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r )  ->  ( r  e.  ( A [,] B
)  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( A [,] B )  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
4942, 48mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  E. q  e.  U  q  <  r )
5022ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
51 simp-4r 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
534ad4antr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
54 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  U )
5553, 54sseldd 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
5745adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
5954adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  U )
6043ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  ph )
61 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  <  x )
62 breq1 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  x  <->  q  <  x ) )
63 breq1 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  z  <->  q  <  z ) )
6463rexbidv 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  ( E. z  e.  L  y  <  z  <->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
6562, 64imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  q  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z )  <->  ( q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) ) )
66 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
6766ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
6855adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  ( A [,] B
) )
6965, 67, 68rspcdva 2835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  (
q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  E. z  e.  L  q  <  z )
71 breq2 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  (
q  <  z  <->  q  <  r ) )
7271cbvrexv 2693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  L  q  <  z  <->  E. r  e.  L  q  <  r )
7370, 72sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  (
q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
7573, 74mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  L )
76 disj 3457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  i^i  U )  =  (/)  <->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
779, 76sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
7877r19.21bi 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  L )  ->  -.  q  e.  U )
7960, 75, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  -.  q  e.  U )
8059, 79pm2.65da 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  -.  q  <  x )
8152, 56, 80nltled 8019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <_  q )
82 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <  r )
8449, 83rexlimddv 2588 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  x  <  r )
8584ralrimiva 2539 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. r  e.  U  x  <  r )
8641, 85jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
8786ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8887reximdva 2568 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  ( A [,] B
) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8912, 88mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1343    e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445    i^i cin 3115    C_ wss 3116   (/)c0 3409   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752    < clt 7933   [,]cicc 9827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-icc 9831  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941
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