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Theorem dedekindicclemlu 15217
Description: Lemma for dedekindicc 15220. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r   ph, q, r, x
Allowed substitution hint:   U( x)
Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 15216 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
13 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. L )
143ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> L C_ ( A [,] B ) )
1514, 13sseldd 3202 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. ( A [,] B ) )
16 rsp 2555 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> E. r e. L q < r )
21 iccssre 10112 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
2322ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
2415adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. RR )
263ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> L C_ ( A [,] B ) )
27 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. L )
2826, 27sseldd 3202 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. RR )
30 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. RR )
32 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < r )
33 breq2 4063 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x < y <-> x < r ) )
3433notbid 669 . . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( -. x < y <-> -. x < r ) )
35 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3734, 36, 27rspcdva 2889 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> -. x < r )
3829, 31, 37nltled 8228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r <_ x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < x )
4020, 39rexlimddv 2630 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q < x )
4140ralrimiva 2581 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. q e. L q < x )
42 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. U )
43 simplll 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ph )
444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
4544, 42sseldd 3202 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. ( A [,] B ) )
46 rsp 2555 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
4942, 48mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> E. q e. U q < r )
5022ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
51 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. RR )
534ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> U C_ ( A [,] B ) )
54 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. U )
5553, 54sseldd 3202 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. RR )
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3202 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. RR )
5954adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. U )
6043ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ph )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q < x )
62 breq1 4062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( y < x <-> q < x ) )
63 breq1 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = q -> ( y < z <-> q < z ) )
6463rexbidv 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( E. z e. L y < z <-> E. z e. L q < z ) )
6562, 64imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = q -> ( ( y < x -> E. z e. L y < z ) <-> ( q < x -> E. z e. L q < z ) ) )
66 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6855adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. ( A [,] B ) )
6965, 67, 68rspcdva 2889 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q < x -> E. z e. L q < z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. z e. L q < z )
71 breq2 4063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = r -> ( q < z <-> q < r ) )
7271cbvrexv 2743 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. L q < z <-> E. r e. L q < r )
7370, 72sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. r e. L q < r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
7573, 74mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. L )
76 disj 3517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L i^i U ) = (/) <-> A. q e. L -. q e. U )
779, 76sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. q e. L -. q e. U )
7877r19.21bi 2596 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. L ) -> -. q e. U )
7960, 75, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> -. q e. U )
8059, 79pm2.65da 663 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> -. q < x )
8152, 56, 80nltled 8228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x <_ q )
82 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q < r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x < r )
8449, 83rexlimddv 2630 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> x < r )
8584ralrimiva 2581 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. r e. U x < r )
8641, 85jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
8786ex 115 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8887reximdva 2610 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8912, 88mpd 13 1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   < clt 8142   [,]cicc 10048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-icc 10052  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425
This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  15219
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