Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemlu Unicode version

Theorem dedekindicclemlu 12786
 Description: Lemma for dedekindicc 12789. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a
dedekindicc.b
dedekindicc.lss
dedekindicc.uss
dedekindicc.lm
dedekindicc.um
dedekindicc.lr
dedekindicc.ur
dedekindicc.disj
dedekindicc.loc
dedekindicc.ab
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3
2 dedekindicc.b . . 3
3 dedekindicc.lss . . 3
4 dedekindicc.uss . . 3
5 dedekindicc.lm . . 3
6 dedekindicc.um . . 3
7 dedekindicc.lr . . 3
8 dedekindicc.ur . . 3
9 dedekindicc.disj . . 3
10 dedekindicc.loc . . 3
11 dedekindicc.ab . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 12785 . 2
13 simpr 109 . . . . . . . 8
143ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10
1514, 13sseldd 3098 . . . . . . . . 9
16 rsp 2480 . . . . . . . . . . 11
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10
1817ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8
2013, 19mpbid 146 . . . . . . 7
21 iccssre 9745 . . . . . . . . . . 11
221, 2, 21syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
2322ad4antr 485 . . . . . . . . 9
2415adantr 274 . . . . . . . . 9
2523, 24sseldd 3098 . . . . . . . 8
263ad4antr 485 . . . . . . . . . 10
27 simprl 520 . . . . . . . . . 10
2826, 27sseldd 3098 . . . . . . . . 9
2923, 28sseldd 3098 . . . . . . . 8
30 simp-4r 531 . . . . . . . . 9
3123, 30sseldd 3098 . . . . . . . 8
32 simprr 521 . . . . . . . 8
33 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11
3433notbid 656 . . . . . . . . . 10
35 simprl 520 . . . . . . . . . . 11
3635ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
3734, 36, 27rspcdva 2794 . . . . . . . . 9
3829, 31, 37nltled 7890 . . . . . . . 8
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8192 . . . . . . 7
4020, 39rexlimddv 2554 . . . . . 6
4140ralrimiva 2505 . . . . 5
42 simpr 109 . . . . . . . 8
43 simplll 522 . . . . . . . . 9
444ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10
4544, 42sseldd 3098 . . . . . . . . 9
46 rsp 2480 . . . . . . . . . 10
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8
4942, 48mpbid 146 . . . . . . 7
5022ad4antr 485 . . . . . . . . 9
51 simp-4r 531 . . . . . . . . 9
5250, 51sseldd 3098 . . . . . . . 8
534ad4antr 485 . . . . . . . . . 10
54 simprl 520 . . . . . . . . . 10
5553, 54sseldd 3098 . . . . . . . . 9
5650, 55sseldd 3098 . . . . . . . 8
5745adantr 274 . . . . . . . . 9
5850, 57sseldd 3098 . . . . . . . 8
5954adantr 274 . . . . . . . . . 10
6043ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
61 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
62 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6562, 64imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15
6855adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
6965, 67, 68rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13
71 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14
7271cbvrexv 2655 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 72sylib 121 . . . . . . . . . . . 12
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74mpbird 166 . . . . . . . . . . 11
76 disj 3411 . . . . . . . . . . . . 13
779, 76sylib 121 . . . . . . . . . . . 12
7877r19.21bi 2520 . . . . . . . . . . 11
7960, 75, 78syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
8059, 79pm2.65da 650 . . . . . . . . 9
8152, 56, 80nltled 7890 . . . . . . . 8
82 simprr 521 . . . . . . . 8
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 7894 . . . . . . 7
8449, 83rexlimddv 2554 . . . . . 6
8584ralrimiva 2505 . . . . 5
8641, 85jca 304 . . . 4
8786ex 114 . . 3
8887reximdva 2534 . 2
8912, 88mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   cin 3070   wss 3071  c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7626   clt 7807  cicc 9681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-icc 9685  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778 This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  12788
 Copyright terms: Public domain W3C validator