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Theorem dedekindicclemlu 12786
Description: Lemma for dedekindicc 12789. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x    B, q, r, x    L, q, r, x    U, q, r    ph, q, r, x
Allowed substitution hint:    U( x)

Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 dedekindicc.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
7 dedekindicc.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 12785 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )
13 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  L )
143ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  L  C_  ( A [,] B
) )
1514, 13sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  ( A [,] B
) )
16 rsp 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r )  ->  ( q  e.  ( A [,] B
)  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( q  e.  ( A [,] B )  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1817ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  (
q  e.  ( A [,] B )  -> 
( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  (
q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2013, 19mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
21 iccssre 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
221, 2, 21syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2322ad4antr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
2415adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
263ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
27 simprl 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  L )
2826, 27sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
30 simp-4r 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
32 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
33 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  r  ->  (
x  <  y  <->  x  <  r ) )
3433notbid 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  r  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  r ) )
35 simprl 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
3635ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
3734, 36, 27rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  -.  x  <  r )
3829, 31, 37nltled 7890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  <_  x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  x )
4020, 39rexlimddv 2554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  <  x )
4140ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. q  e.  L  q  <  x )
42 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  U )
43 simplll 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  ph )
444ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  U  C_  ( A [,] B
) )
4544, 42sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  ( A [,] B
) )
46 rsp 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r )  ->  ( r  e.  ( A [,] B
)  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( A [,] B )  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
4942, 48mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  E. q  e.  U  q  <  r )
5022ad4antr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
51 simp-4r 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
534ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
54 simprl 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  U )
5553, 54sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
5745adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
5954adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  U )
6043ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  ph )
61 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  <  x )
62 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  x  <->  q  <  x ) )
63 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  z  <->  q  <  z ) )
6463rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  ( E. z  e.  L  y  <  z  <->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
6562, 64imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  q  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z )  <->  ( q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) ) )
66 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
6766ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
6855adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  ( A [,] B
) )
6965, 67, 68rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  (
q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  E. z  e.  L  q  <  z )
71 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  (
q  <  z  <->  q  <  r ) )
7271cbvrexv 2655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  L  q  <  z  <->  E. r  e.  L  q  <  r )
7370, 72sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  (
q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
7573, 74mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  q  e.  L )
76 disj 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  i^i  U )  =  (/)  <->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
779, 76sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
7877r19.21bi 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  L )  ->  -.  q  e.  U )
7960, 75, 78syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  < 
x )  ->  -.  q  e.  U )
8059, 79pm2.65da 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  -.  q  <  x )
8152, 56, 80nltled 7890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <_  q )
82 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 7894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <  r )
8449, 83rexlimddv 2554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  x  <  r )
8584ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. r  e.  U  x  <  r )
8641, 85jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
8786ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8887reximdva 2534 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  ( A [,] B
) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
8912, 88mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626    < clt 7807   [,]cicc 9681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-icc 9685  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778
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