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Theorem dedekindicclemlu 14809
Description: Lemma for dedekindicc 14812. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a |- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b |- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab |- ( ph -> A < B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlu |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Distinct variable groups:   A, q, r, x   B, q, r, x   L, q, r, x   U, q, r   ph, q, r, x
Allowed substitution hint:   U( x)
Proof of Theorem dedekindicclemlu
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2 dedekindicc.b . . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3 dedekindicc.lss . . 3 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
4 dedekindicc.uss . . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6 dedekindicc.um . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
7 dedekindicc.lr . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
8 dedekindicc.ur . . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
9 dedekindicc.disj . . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
10 dedekindicc.loc . . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11 dedekindicc.ab . . 3 |- ( ph -> A < B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlub 14808 . 2 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )
13 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. L )
143ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> L C_ ( A [,] B ) )
1514, 13sseldd 3181 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q e. ( A [,] B ) )
16 rsp 2541 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
177, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1817ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. ( A [,] B ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) ) )
1915, 18mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
2013, 19mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> E. r e. L q < r )
21 iccssre 10024 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
221, 2, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
2322ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
2415adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
2523, 24sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q e. RR )
263ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> L C_ ( A [,] B ) )
27 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. L )
2826, 27sseldd 3181 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
2923, 28sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r e. RR )
30 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
3123, 30sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> x e. RR )
32 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < r )
33 breq2 4034 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x < y <-> x < r ) )
3433notbid 668 . . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( -. x < y <-> -. x < r ) )
35 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> A. y e. L -. x < y )
3734, 36, 27rspcdva 2870 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> -. x < r )
3829, 31, 37nltled 8142 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> r <_ x )
3925, 29, 31, 32, 38ltletrd 8444 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) /\ ( r e. L /\ q < r ) ) -> q < x )
4020, 39rexlimddv 2616 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ q e. L ) -> q < x )
4140ralrimiva 2567 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. q e. L q < x )
42 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. U )
43 simplll 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ph )
444ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
4544, 42sseldd 3181 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> r e. ( A [,] B ) )
46 rsp 2541 . . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
478, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( r e. ( A [,] B ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) ) )
4843, 45, 47sylc 62 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
4942, 48mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> E. q e. U q < r )
5022ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
51 simp-4r 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
5250, 51sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x e. RR )
534ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> U C_ ( A [,] B ) )
54 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. U )
5553, 54sseldd 3181 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. ( A [,] B ) )
5650, 55sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q e. RR )
5745adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. ( A [,] B ) )
5850, 57sseldd 3181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> r e. RR )
5954adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. U )
6043ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ph )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q < x )
62 breq1 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( y < x <-> q < x ) )
63 breq1 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = q -> ( y < z <-> q < z ) )
6463rexbidv 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = q -> ( E. z e. L y < z <-> E. z e. L q < z ) )
6562, 64imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = q -> ( ( y < x -> E. z e. L y < z ) <-> ( q < x -> E. z e. L q < z ) ) )
66 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6766ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) )
6855adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. ( A [,] B ) )
6965, 67, 68rspcdva 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q < x -> E. z e. L q < z ) )
7061, 69mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. z e. L q < z )
71 breq2 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = r -> ( q < z <-> q < r ) )
7271cbvrexv 2727 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. L q < z <-> E. r e. L q < r )
7370, 72sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> E. r e. L q < r )
7460, 68, 17sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
7573, 74mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> q e. L )
76 disj 3496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L i^i U ) = (/) <-> A. q e. L -. q e. U )
779, 76sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. q e. L -. q e. U )
7877r19.21bi 2582 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. L ) -> -. q e. U )
7960, 75, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) /\ q < x ) -> -. q e. U )
8059, 79pm2.65da 662 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> -. q < x )
8152, 56, 80nltled 8142 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x <_ q )
82 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> q < r )
8352, 56, 58, 81, 82lelttrd 8146 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) /\ ( q e. U /\ q < r ) ) -> x < r )
8449, 83rexlimddv 2616 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) /\ r e. U ) -> x < r )
8584ralrimiva 2567 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> A. r e. U x < r )
8641, 85jca 306 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
8786ex 115 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8887reximdva 2596 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) ) )
8912, 88mpd 13 1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. q e. L q < x /\ A. r e. U x < r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   i^i cin 3153   C_ wss 3154   (/)c0 3447   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   < clt 8056   [,]cicc 9960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-icc 9964  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146
This theorem is referenced by:  dedekindicclemicc  14811
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