Theorem pw2dvdseulemle 11881

Description: Lemma for pw2dvdseu 11882. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	|- ( ph -> N e. NN )
pw2dvdseulemle.a	|- ( ph -> A e. NN0 )
pw2dvdseulemle.b	|- ( ph -> B e. NN0 )
pw2dvdseulemle.2a	|- ( ph -> ( 2 ^ A ) || N )
pw2dvdseulemle.n2b	|- ( ph -> -. ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 |- ( ph -> A e. NN0 )
2	1	nn0red 9055	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 |- ( ph -> B e. NN0 )
4	3	nn0red 9055	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )
6		2cnd 8817	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> 2 e. CC )
7	3	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> B e. NN0 )
8		peano2nn0 9041	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN0 -> ( B + 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) e. NN0 )
10	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A e. NN0 )
11		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> B < A )
12		nn0ltp1le 9140	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN0 /\ A e. NN0 ) -> ( B < A <-> ( B + 1 ) <_ A ) )
13	7, 10, 12	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B < A <-> ( B + 1 ) <_ A ) )
14	11, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) <_ A )
15		nn0sub2 9148	. . . . . . 7 |- ( ( ( B + 1 ) e. NN0 /\ A e. NN0 /\ ( B + 1 ) <_ A ) -> ( A - ( B + 1 ) ) e. NN0 )
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A - ( B + 1 ) ) e. NN0 )
17	6, 16, 9	expaddd 10457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) )
18	9	nn0cnd 9056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( B + 1 ) e. CC )
19	10	nn0cnd 9056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B < A ) -> A e. CC )
20	18, 19	pncan3d 8100	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) = A )
21	20	oveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) = ( 2 ^ A ) )
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) || N )
23	22	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ A ) || N )
24	21, 23	eqbrtrd 3958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( ( B + 1 ) + ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N )
25	17, 24	eqbrtrrd 3960	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N )
26		2nn 8905	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> 2 e. NN )
28	27, 9	nnexpcld 10477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. NN )
29	28	nnzd 9196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. ZZ )
30	27, 16	nnexpcld 10477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. NN )
31	30	nnzd 9196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. ZZ )
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
33	32	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> N e. NN )
34	33	nnzd 9196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> N e. ZZ )
35		muldvds1 11554	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N ) )
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( ( 2 ^ ( B + 1 ) ) x. ( 2 ^ ( A - ( B + 1 ) ) ) ) || N -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N ) )
37	25, 36	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( 2 ^ ( B + 1 ) ) || N )
38	5, 37	mtand 655	. 2 |- ( ph -> -. B < A )
39	2, 4, 38	nltled 7907	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   NNcn 8744   2c2 8795   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ^cexp 10323   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11882