ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseulemle Unicode version

Theorem pw2dvdseulemle 11238
Description: Lemma for pw2dvdseu 11239. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2dvdseulemle.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pw2dvdseulemle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
pw2dvdseulemle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
pw2dvdseulemle.2a  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  ||  N )
pw2dvdseulemle.n2b  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ ( B  +  1 ) )  ||  N
)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseulemle  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem pw2dvdseulemle
StepHypRef Expression
1 pw2dvdseulemle.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
21nn0red 8697 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 pw2dvdseulemle.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
43nn0red 8697 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 pw2dvdseulemle.n2b . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ ( B  +  1 ) )  ||  N
)
6 2cnd 8466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  2  e.  CC )
73adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  B  e.  NN0 )
8 peano2nn0 8683 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
97, 8syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
101adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A  e.  NN0 )
11 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  B  <  A )
12 nn0ltp1le 8782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( B  <  A  <->  ( B  +  1 )  <_  A ) )
137, 10, 12syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  + 
1 )  <_  A
) )
1411, 13mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( B  +  1 )  <_  A )
15 nn0sub2 8790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  ( B  +  1 )  <_  A )  -> 
( A  -  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
169, 10, 14, 15syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A  -  ( B  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
176, 16, 9expaddd 10053 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( ( B  +  1 )  +  ( A  -  ( B  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( B  +  1 ) )  x.  (
2 ^ ( A  -  ( B  + 
1 ) ) ) ) )
189nn0cnd 8698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( B  +  1 )  e.  CC )
1910nn0cnd 8698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  A  e.  CC )
2018, 19pncan3d 7775 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( B  +  1 )  +  ( A  -  ( B  +  1
) ) )  =  A )
2120oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( ( B  +  1 )  +  ( A  -  ( B  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ A
) )
22 pw2dvdseulemle.2a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  ||  N )
2322adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ A )  ||  N )
2421, 23eqbrtrd 3857 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( ( B  +  1 )  +  ( A  -  ( B  +  1 ) ) ) )  ||  N )
2517, 24eqbrtrrd 3859 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( (
2 ^ ( B  +  1 ) )  x.  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1 ) ) ) )  ||  N )
26 2nn 8547 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  2  e.  NN )
2827, 9nnexpcld 10073 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( B  + 
1 ) )  e.  NN )
2928nnzd 8837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )
3027, 16nnexpcld 10073 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1
) ) )  e.  NN )
3130nnzd 8837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1
) ) )  e.  ZZ )
32 pw2dvdseulemle.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3332adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  N  e.  NN )
3433nnzd 8837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  N  e.  ZZ )
35 muldvds1 10914 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ ( B  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1 ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2 ^ ( B  + 
1 ) )  x.  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1 ) ) ) )  ||  N  ->  ( 2 ^ ( B  +  1 ) )  ||  N ) )
3629, 31, 34, 35syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( (
( 2 ^ ( B  +  1 ) )  x.  ( 2 ^ ( A  -  ( B  +  1
) ) ) ) 
||  N  ->  (
2 ^ ( B  +  1 ) ) 
||  N ) )
3725, 36mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( 2 ^ ( B  + 
1 ) )  ||  N )
385, 37mtand 626 . 2  |-  ( ph  ->  -.  B  <  A
)
392, 4, 38nltled 7583 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NNcn 8394   2c2 8444   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ^cexp 9919    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-dvds 10890
This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11239
  Copyright terms: Public domain W3C validator