Theorem nltled 8447

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 8444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8364  df-le 8366

This theorem is used by:  ltntri  8454  suprubex  9282  infregelbex  10000  zsupcl  10666  zssinfcl  10667  infssuzledc  10669  seqf1oglem1  10958  cvgratz  12301  bitsfzolem  12723  bitsmod  12725  dvdslegcd  12743  pw2dvdseulemle  12947  gzsumfzval  13713  gzsumcl  13806  gzsumreidx  14143  gzsumsubmcl  14144  gzsummhm  14147  dedekindeulemuub  15720  dedekindeulemlu  15724  suplociccex  15728  dedekindicclemuub  15729  dedekindicclemlu  15733  ivthinclemlopn  15739  ivthinclemuopn  15741  dichmul0orlem5  16769  dichmul0orlem6  16770  refeq  17085