Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refeq Unicode version

Theorem refeq 13399
 Description: Equality of two real functions which agree at negative numbers, positive numbers, and zero. This holds even without real trichotomy. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
refeq.f
refeq.g
refeq.lt0
refeq.gt0
refeq.0
Assertion
Ref Expression
refeq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem refeq
StepHypRef Expression
1 refeq.f . . 3
21ffnd 5281 . 2
3 refeq.g . . 3
43ffnd 5281 . 2
5 refeq.0 . . . . . 6
65ad2antrr 480 . . . . 5 #
7 simplr 520 . . . . . . . 8 #
8 0red 7792 . . . . . . . 8 #
9 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 # #
101ffvelrnda 5563 . . . . . . . . . . . . . 14
1110recnd 7819 . . . . . . . . . . . . 13
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 #
133ffvelrnda 5563 . . . . . . . . . . . . . 14
1413recnd 7819 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 #
16 apne 8410 . . . . . . . . . . . 12 #
1712, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 # #
189, 17mpd 13 . . . . . . . . . 10 #
1918neneqd 2330 . . . . . . . . 9 #
20 refeq.gt0 . . . . . . . . . . 11
2120r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10
2221adantr 274 . . . . . . . . 9 #
2319, 22mtod 653 . . . . . . . 8 #
247, 8, 23nltled 7908 . . . . . . 7 #
25 refeq.lt0 . . . . . . . . . . 11
2625r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10
2726adantr 274 . . . . . . . . 9 #
2819, 27mtod 653 . . . . . . . 8 #
298, 7, 28nltled 7908 . . . . . . 7 #
307, 8letri3d 7904 . . . . . . 7 #
3124, 29, 30mpbir2and 929 . . . . . 6 #
3231fveq2d 5433 . . . . 5 #
3331fveq2d 5433 . . . . 5 #
346, 32, 333eqtr4d 2183 . . . 4 #
3534, 19pm2.65da 651 . . 3 #
36 apti 8409 . . . 4 #
3711, 14, 36syl2anc 409 . . 3 #
3835, 37mpbird 166 . 2
392, 4, 38eqfnfvd 5529 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481   wne 2309  wral 2417   class class class wbr 3937  wf 5127  cfv 5131  cc 7643  cr 7644  cc0 7645   clt 7825   cle 7826   # cap 8368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator