Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemuub Unicode version

Theorem dedekindicclemuub 12762
 Description: Lemma for dedekindicc 12769. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a
dedekindicc.b
dedekindicc.lss
dedekindicc.uss
dedekindicc.lm
dedekindicc.um
dedekindicc.lr
dedekindicc.ur
dedekindicc.disj
dedekindicc.loc
dedekindicclemuub.u
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemuub
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dedekindicclemuub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicclemuub.u . . 3
2 eleq1 2200 . . . . 5
3 breq2 3928 . . . . . 6
43rexbidv 2436 . . . . 5
52, 4bibi12d 234 . . . 4
6 dedekindicc.ur . . . 4
7 dedekindicc.uss . . . . 5
87, 1sseldd 3093 . . . 4
95, 6, 8rspcdva 2789 . . 3
101, 9mpbid 146 . 2
11 dedekindicc.a . . . . . . 7
12 dedekindicc.b . . . . . . 7
13 iccssre 9731 . . . . . . 7
1411, 12, 13syl2anc 408 . . . . . 6
1514ad2antrr 479 . . . . 5
16 dedekindicc.lss . . . . . . 7
1716ad2antrr 479 . . . . . 6
18 simpr 109 . . . . . 6
1917, 18sseldd 3093 . . . . 5
2015, 19sseldd 3093 . . . 4
217ad2antrr 479 . . . . . 6
22 simplrl 524 . . . . . 6
2321, 22sseldd 3093 . . . . 5
2415, 23sseldd 3093 . . . 4
2514, 8sseldd 3093 . . . . 5
2625ad2antrr 479 . . . 4
27 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
2827rspcev 2784 . . . . . . . . 9
2922, 28sylan 281 . . . . . . . 8
3027cbvrexv 2653 . . . . . . . 8
3129, 30sylib 121 . . . . . . 7
32 eleq1 2200 . . . . . . . . 9
33 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
3433rexbidv 2436 . . . . . . . . 9
3532, 34bibi12d 234 . . . . . . . 8
366ad3antrrr 483 . . . . . . . 8
3719adantr 274 . . . . . . . 8
3835, 36, 37rspcdva 2789 . . . . . . 7
3931, 38mpbird 166 . . . . . 6
40 simplll 522 . . . . . . 7
4118adantr 274 . . . . . . 7
42 dedekindicc.disj . . . . . . . . 9
43 disj 3406 . . . . . . . . 9
4442, 43sylib 121 . . . . . . . 8
4544r19.21bi 2518 . . . . . . 7
4640, 41, 45syl2anc 408 . . . . . 6
4739, 46pm2.65da 650 . . . . 5
4820, 24, 47nltled 7876 . . . 4
49 simplrr 525 . . . 4
5020, 24, 26, 48, 49lelttrd 7880 . . 3
5150ralrimiva 2503 . 2
5210, 51rexlimddv 2552 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415   cin 3065   wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  cr 7612   clt 7793  cicc 9667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-icc 9671 This theorem is referenced by:  dedekindicclemub  12763  dedekindicclemloc  12764
 Copyright terms: Public domain W3C validator