Theorem nnawordi 6534

Description: Adding to both sides of an inequality in om. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordi	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem nnawordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 6530	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
2	1	biimpd 144	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B -> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
3		nnacom 6503	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
4	3	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A +o C ) = ( C +o A ) )
5		nnacom 6503	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
6	5	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B +o C ) = ( C +o B ) )
7	4, 6	sseq12d 3201	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o C ) C_ ( B +o C ) <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
8	2, 7	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   omcom 4604  (class class class)co 5891   +o coa 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439

This theorem is referenced by: (None)