ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaword Unicode version

Theorem nnaword 6270
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaword
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  +o  A )  =  ( C  +o  A ) )
2 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x  +o  B )  =  ( C  +o  B ) )
31, 2sseq12d 3055 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( x  +o  A
)  C_  ( x  +o  B )  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )
43bibi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  C_  B  <->  ( x  +o  A ) 
C_  ( x  +o  B ) )  <->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) )
54imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( x  +o  A )  C_  (
x  +o  B ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
6 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  A )  =  ( (/)  +o  A
) )
7 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  B )  =  ( (/)  +o  B
) )
86, 7sseq12d 3055 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  +o  A ) 
C_  ( x  +o  B )  <->  ( (/)  +o  A
)  C_  ( (/)  +o  B
) ) )
98bibi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  C_  B  <->  ( x  +o  A )  C_  (
x  +o  B ) )  <->  ( A  C_  B 
<->  ( (/)  +o  A
)  C_  ( (/)  +o  B
) ) ) )
10 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  A )  =  ( y  +o  A ) )
11 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  B )  =  ( y  +o  B ) )
1210, 11sseq12d 3055 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +o  A
)  C_  ( x  +o  B )  <->  ( y  +o  A )  C_  (
y  +o  B ) ) )
1312bibi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  B  <->  ( x  +o  A ) 
C_  ( x  +o  B ) )  <->  ( A  C_  B  <->  ( y  +o  A )  C_  (
y  +o  B ) ) ) )
14 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  A
)  =  ( suc  y  +o  A ) )
15 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
1614, 15sseq12d 3055 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  +o  A )  C_  (
x  +o  B )  <-> 
( suc  y  +o  A )  C_  ( suc  y  +o  B
) ) )
1716bibi2d 230 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  C_  B 
<->  ( x  +o  A
)  C_  ( x  +o  B ) )  <->  ( A  C_  B  <->  ( suc  y  +o  A )  C_  ( suc  y  +o  B
) ) ) )
18 nna0r 6239 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
1918eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  A  =  ( (/)  +o  A
) )
2019adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  =  ( (/)  +o  A ) )
21 nna0r 6239 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  B )
2221eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  B  =  ( (/)  +o  B
) )
2322adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  =  ( (/)  +o  B ) )
2420, 23sseq12d 3055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  (
(/)  +o  A )  C_  ( (/)  +o  B
) ) )
25 nnacl 6241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( y  +o  A
)  e.  om )
26253adant3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
y  +o  A )  e.  om )
27 nnacl 6241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( y  +o  B
)  e.  om )
28273adant2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
y  +o  B )  e.  om )
29 nnsucsssuc 6253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +o  A
)  e.  om  /\  ( y  +o  B
)  e.  om )  ->  ( ( y  +o  A )  C_  (
y  +o  B )  <->  suc  ( y  +o  A
)  C_  suc  ( y  +o  B ) ) )
3026, 28, 29syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( y  +o  A
)  C_  ( y  +o  B )  <->  suc  ( y  +o  A )  C_  suc  ( y  +o  B
) ) )
31 nnasuc 6237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
32 peano2 4410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
33 nnacom 6245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( suc  y  +o  A
) )
3432, 33sylan2 280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( suc  y  +o  A
) )
35 nnacom 6245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  =  ( y  +o  A ) )
36 suceq 4229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +o  y )  =  ( y  +o  A )  ->  suc  ( A  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  A ) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( A  +o  y )  =  suc  ( y  +o  A
) )
3831, 34, 373eqtr3rd 2129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  A )  =  ( suc  y  +o  A
) )
3938ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  A )  =  ( suc  y  +o  A
) )
40393adant3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  A
)  =  ( suc  y  +o  A ) )
41 nnasuc 6237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
42 nnacom 6245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  ( suc  y  +o  B
) )
4332, 42sylan2 280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  ( suc  y  +o  B
) )
44 nnacom 6245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  =  ( y  +o  B ) )
45 suceq 4229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  +o  y )  =  ( y  +o  B )  ->  suc  ( B  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( B  +o  y )  =  suc  ( y  +o  B
) )
4741, 43, 463eqtr3rd 2129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  B )  =  ( suc  y  +o  B
) )
4847ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  B )  =  ( suc  y  +o  B
) )
49483adant2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  suc  ( y  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
5040, 49sseq12d 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( y  +o  A
)  C_  suc  ( y  +o  B )  <->  ( suc  y  +o  A )  C_  ( suc  y  +o  B
) ) )
5130, 50bitrd 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( y  +o  A
)  C_  ( y  +o  B )  <->  ( suc  y  +o  A )  C_  ( suc  y  +o  B
) ) )
5251bibi2d 230 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( A  C_  B  <->  ( y  +o  A ) 
C_  ( y  +o  B ) )  <->  ( A  C_  B  <->  ( suc  y  +o  A )  C_  ( suc  y  +o  B
) ) ) )
5352biimpd 142 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  (
( A  C_  B  <->  ( y  +o  A ) 
C_  ( y  +o  B ) )  -> 
( A  C_  B  <->  ( suc  y  +o  A
)  C_  ( suc  y  +o  B ) ) ) )
54533expib 1146 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B 
<->  ( y  +o  A
)  C_  ( y  +o  B ) )  -> 
( A  C_  B  <->  ( suc  y  +o  A
)  C_  ( suc  y  +o  B ) ) ) ) )
559, 13, 17, 24, 54finds2 4416 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( x  +o  A ) 
C_  ( x  +o  B ) ) ) )
565, 55vtoclga 2685 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A ) 
C_  ( C  +o  B ) ) ) )
5756impcom 123 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
58573impa 1138 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    C_ wss 2999   (/)c0 3286   suc csuc 4192   omcom 4405  (class class class)co 5652    +o coa 6178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185
This theorem is referenced by:  nnacan  6271  nnawordi  6274
  Copyright terms: Public domain W3C validator