Theorem nnaword 6657

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaword

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o A ) = ( C +o A ) )
2		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o B ) = ( C +o B ) )
3	1, 2	sseq12d 3255	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
4	3	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
6		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o A ) = ( (/) +o A ) )
7		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
8	6, 7	sseq12d 3255	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
9	8	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) ) )
10		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o A ) = ( y +o A ) )
11		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
12	10, 11	sseq12d 3255	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) ) )
14		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o A ) = ( suc y +o A ) )
15		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
16	14, 15	sseq12d 3255	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
17	16	bibi2d 232	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
18		nna0r 6624	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
19	18	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> A = ( (/) +o A ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A = ( (/) +o A ) )
21		nna0r 6624	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
22	21	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> B = ( (/) +o B ) )
23	22	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B = ( (/) +o B ) )
24	20, 23	sseq12d 3255	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
25		nnacl 6626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
26	25	3adant3 1041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
27		nnacl 6626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
28	27	3adant2 1040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
29		nnsucsssuc 6638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o A ) e. om /\ ( y +o B ) e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
30	26, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
31		nnasuc 6622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
32		peano2 4687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> suc y e. om )
33		nnacom 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ suc y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
34	32, 33	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
35		nnacom 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
36		suceq 4493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
38	31, 34, 37	3eqtr3rd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
39	38	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
40	39	3adant3 1041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
41		nnasuc 6622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
42		nnacom 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ suc y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
43	32, 42	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
44		nnacom 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) = ( y +o B ) )
45		suceq 4493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B +o y ) = ( y +o B ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
47	41, 43, 46	3eqtr3rd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
48	47	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
49	48	3adant2 1040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
50	40, 49	sseq12d 3255	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
51	30, 50	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
52	51	bibi2d 232	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
53	52	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
54	53	3expib 1230	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) ) )
55	9, 13, 17, 24, 54	finds2 4693	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) )
56	5, 55	vtoclga 2867	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
57	56	impcom 125	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58	57	3impa 1218	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   suc csuc 4456   omcom 4682  (class class class)co 6001   +o coa 6559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-oadd 6566

This theorem is referenced by:  nnacan  6658  nnawordi  6661