Theorem nnaword 6415

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaword

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o A ) = ( C +o A ) )
2		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x +o B ) = ( C +o B ) )
3	1, 2	sseq12d 3133	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
4	3	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
6		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o A ) = ( (/) +o A ) )
7		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
8	6, 7	sseq12d 3133	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
9	8	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) ) )
10		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o A ) = ( y +o A ) )
11		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
12	10, 11	sseq12d 3133	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) )
13	12	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) ) )
14		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o A ) = ( suc y +o A ) )
15		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
16	14, 15	sseq12d 3133	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( x +o A ) C_ ( x +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
17	16	bibi2d 231	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
18		nna0r 6382	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
19	18	eqcomd 2146	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> A = ( (/) +o A ) )
20	19	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A = ( (/) +o A ) )
21		nna0r 6382	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
22	21	eqcomd 2146	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> B = ( (/) +o B ) )
23	22	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B = ( (/) +o B ) )
24	20, 23	sseq12d 3133	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( (/) +o A ) C_ ( (/) +o B ) ) )
25		nnacl 6384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
26	25	3adant3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o A ) e. om )
27		nnacl 6384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
28	27	3adant2 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( y +o B ) e. om )
29		nnsucsssuc 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o A ) e. om /\ ( y +o B ) e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
30	26, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) ) )
31		nnasuc 6380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
32		peano2 4517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> suc y e. om )
33		nnacom 6388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ suc y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
34	32, 33	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( suc y +o A ) )
35		nnacom 6388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
36		suceq 4332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
38	31, 34, 37	3eqtr3rd 2182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
39	38	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
40	39	3adant3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o A ) = ( suc y +o A ) )
41		nnasuc 6380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
42		nnacom 6388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ suc y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
43	32, 42	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = ( suc y +o B ) )
44		nnacom 6388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) = ( y +o B ) )
45		suceq 4332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B +o y ) = ( y +o B ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( B +o y ) = suc ( y +o B ) )
47	41, 43, 46	3eqtr3rd 2182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
48	47	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
49	48	3adant2 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> suc ( y +o B ) = ( suc y +o B ) )
50	40, 49	sseq12d 3133	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( suc ( y +o A ) C_ suc ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
51	30, 50	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( y +o A ) C_ ( y +o B ) <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) )
52	51	bibi2d 231	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) <-> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
53	52	biimpd 143	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) )
54	53	3expib 1185	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A C_ B <-> ( y +o A ) C_ ( y +o B ) ) -> ( A C_ B <-> ( suc y +o A ) C_ ( suc y +o B ) ) ) ) )
55	9, 13, 17, 24, 54	finds2 4523	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( x +o A ) C_ ( x +o B ) ) ) )
56	5, 55	vtoclga 2755	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
57	56	impcom 124	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58	57	3impa 1177	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A C_ B <-> ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   (/)c0 3368   suc csuc 4295   omcom 4512  (class class class)co 5782   +o coa 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325

This theorem is referenced by:  nnacan  6416  nnawordi  6419