Theorem nnacom 6452

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Proof of Theorem nnacom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x +o B ) = ( A +o B ) )
2		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B +o x ) = ( B +o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) ) )
5		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
6		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) ) )
8		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
9		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( y +o B ) = ( B +o y ) ) )
11		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
12		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
14		nna0r 6446	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
15		nna0 6442	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
16	14, 15	eqtr4d 2201	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) )
17		suceq 4380	. . . . . 6 |- ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) )
18		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o B ) )
19		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( y +o x ) = ( y +o B ) )
20		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o B ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
22	18, 21	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
23	22	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) <-> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) ) )
24		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o (/) ) )
25		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( y +o x ) = ( y +o (/) ) )
26		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o (/) ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
28	24, 27	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) ) )
29		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o z ) )
30		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( y +o x ) = ( y +o z ) )
31		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
33	29, 32	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) ) )
34		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o suc z ) )
35		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> ( y +o x ) = ( y +o suc z ) )
36		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o suc z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
38	34, 37	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
39		peano2 4572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> suc y e. om )
40		nna0 6442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
42		nna0 6442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o (/) ) = y )
43		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o (/) ) = y -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
45	41, 44	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) )
46		suceq 4380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) )
47		nnasuc 6444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
48	39, 47	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
49		nnasuc 6444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) )
50		suceq 4380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
52	48, 51	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) <-> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) ) )
53	46, 52	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
54	53	expcom 115	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> ( y e. om -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) ) )
55	28, 33, 38, 45, 54	finds2 4578	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) )
56	23, 55	vtoclga 2792	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
57	56	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) )
58		nnasuc 6444	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
59	57, 58	eqeq12d 2180	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) <-> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) ) )
60	17, 59	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
61	60	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) ) )
62	7, 10, 13, 16, 61	finds2 4578	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) )
63	4, 62	vtoclga 2792	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
64	63	imp 123	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   +o coa 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6456  nnaordi  6476  nnaordr  6478  nnaword  6479  nnaword2  6482  nnawordi  6483  addcompig  7270  nqpnq0nq  7394  prarloclemlt  7434  prarloclemlo  7435