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Theorem nnacom 6380
Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )

Proof of Theorem nnacom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5781 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +o  B )  =  ( A  +o  B ) )
2 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  A
) )
31, 2eqeq12d 2154 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) ) ) )
5 oveq1 5781 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  B )  =  ( (/)  +o  B
) )
6 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2154 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <->  ( (/)  +o  B
)  =  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq1 5781 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  B )  =  ( y  +o  B ) )
9 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eqeq12d 2154 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq1 5781 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
12 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2154 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 nna0r 6374 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  B )
15 nna0 6370 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1614, 15eqtr4d 2175 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  ( B  +o  (/) ) )
17 suceq 4324 . . . . . 6  |-  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  suc  ( y  +o  B
)  =  suc  ( B  +o  y ) )
18 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
19 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  B ) )
20 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  B )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2218, 21eqeq12d 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) ) )
2322imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
) )  <->  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B ) ) ) )
24 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  (/) ) )
25 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) ) )
26 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) )  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2824, 27eqeq12d 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  (/) )  =  suc  (
y  +o  (/) ) ) )
29 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  z ) )
30 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  z ) )
31 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3329, 32eqeq12d 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
) ) )
34 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  suc  z ) )
35 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( y  +o  x
)  =  ( y  +o  suc  z ) )
36 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o 
suc  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3834, 37eqeq12d 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z ) ) )
39 peano2 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
40 nna0 6370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
42 nna0 6370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  (/) )  =  y )
43 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  (/) )  =  y  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4541, 44eqtr4d 2175 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
46 suceq 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  +o  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
47 nnasuc 6372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
4839, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
49 nnasuc 6372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  z
) )
50 suceq 4324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +o  suc  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  suc  ( y  +o 
suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5248, 51eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z )  <->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  (
y  +o  z ) ) )
5346, 52syl5ibr 155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) )
5453expcom 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) ) )
5528, 33, 38, 45, 54finds2 4515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x ) ) )
5623, 55vtoclga 2752 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B
)  =  suc  (
y  +o  B ) ) )
5756imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) )
58 nnasuc 6372 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5957, 58eqeq12d 2154 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
)  <->  suc  ( y  +o  B )  =  suc  ( B  +o  y
) ) )
6017, 59syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
6160expcom 115 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  +o  B
)  =  ( B  +o  y )  -> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
627, 10, 13, 16, 61finds2 4515 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x ) ) )
634, 62vtoclga 2752 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
6463imp 123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774    +o coa 6310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317
This theorem is referenced by:  nnmsucr  6384  nnaordi  6404  nnaordr  6406  nnaword  6407  nnaword2  6410  nnawordi  6411  addcompig  7144  nqpnq0nq  7268  prarloclemlt  7308  prarloclemlo  7309
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