Theorem nnacom 6259

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Proof of Theorem nnacom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5673	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x +o B ) = ( A +o B ) )
2		oveq2 5674	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B +o x ) = ( B +o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) ) )
5		oveq1 5673	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
6		oveq2 5674	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) ) )
8		oveq1 5673	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
9		oveq2 5674	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( y +o B ) = ( B +o y ) ) )
11		oveq1 5673	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
12		oveq2 5674	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
14		nna0r 6253	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
15		nna0 6249	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
16	14, 15	eqtr4d 2124	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) )
17		suceq 4238	. . . . . 6 |- ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) )
18		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o B ) )
19		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( y +o x ) = ( y +o B ) )
20		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o B ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
22	18, 21	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
23	22	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) <-> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) ) )
24		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o (/) ) )
25		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( y +o x ) = ( y +o (/) ) )
26		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o (/) ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
28	24, 27	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) ) )
29		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o z ) )
30		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( y +o x ) = ( y +o z ) )
31		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
33	29, 32	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) ) )
34		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o suc z ) )
35		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> ( y +o x ) = ( y +o suc z ) )
36		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o suc z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
38	34, 37	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
39		peano2 4423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> suc y e. om )
40		nna0 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
42		nna0 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o (/) ) = y )
43		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o (/) ) = y -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
45	41, 44	eqtr4d 2124	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) )
46		suceq 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) )
47		nnasuc 6251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
48	39, 47	sylan 278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
49		nnasuc 6251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) )
50		suceq 4238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
52	48, 51	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) <-> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) ) )
53	46, 52	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
54	53	expcom 115	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> ( y e. om -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) ) )
55	28, 33, 38, 45, 54	finds2 4429	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) )
56	23, 55	vtoclga 2686	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
57	56	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) )
58		nnasuc 6251	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
59	57, 58	eqeq12d 2103	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) <-> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) ) )
60	17, 59	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
61	60	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) ) )
62	7, 10, 13, 16, 61	finds2 4429	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) )
63	4, 62	vtoclga 2686	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
64	63	imp 123	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   (/)c0 3287   suc csuc 4201   omcom 4418  (class class class)co 5666   +o coa 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6263  nnaordi  6281  nnaordr  6283  nnaword  6284  nnaword2  6287  nnawordi  6288  addcompig  6949  nqpnq0nq  7073  prarloclemlt  7113  prarloclemlo  7114