Theorem nnacom 6647

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Proof of Theorem nnacom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x +o B ) = ( A +o B ) )
2		oveq2 6021	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B +o x ) = ( B +o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) ) )
5		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x +o B ) = ( (/) +o B ) )
6		oveq2 6021	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) ) )
8		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x +o B ) = ( y +o B ) )
9		oveq2 6021	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( y +o B ) = ( B +o y ) ) )
11		oveq1 6020	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x +o B ) = ( suc y +o B ) )
12		oveq2 6021	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x +o B ) = ( B +o x ) <-> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
14		nna0r 6641	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = B )
15		nna0 6637	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
16	14, 15	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) +o B ) = ( B +o (/) ) )
17		suceq 4497	. . . . . 6 |- ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) )
18		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o B ) )
19		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( y +o x ) = ( y +o B ) )
20		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o B ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o B ) )
22	18, 21	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) <-> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) ) )
24		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o (/) ) )
25		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( y +o x ) = ( y +o (/) ) )
26		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o (/) ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o (/) ) )
28	24, 27	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) ) )
29		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o z ) )
30		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( y +o x ) = ( y +o z ) )
31		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o z ) )
33	29, 32	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) ) )
34		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> ( suc y +o x ) = ( suc y +o suc z ) )
35		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc z -> ( y +o x ) = ( y +o suc z ) )
36		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o x ) = ( y +o suc z ) -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc z -> suc ( y +o x ) = suc ( y +o suc z ) )
38	34, 37	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc z -> ( ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) <-> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
39		peano2 4691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> suc y e. om )
40		nna0 6637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc y )
42		nna0 6637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o (/) ) = y )
43		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o (/) ) = y -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( y +o (/) ) = suc y )
45	41, 44	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( suc y +o (/) ) = suc ( y +o (/) ) )
46		suceq 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) )
47		nnasuc 6639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
48	39, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( suc y +o z ) )
49		nnasuc 6639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) )
50		suceq 4497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +o suc z ) = suc ( y +o z ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> suc ( y +o suc z ) = suc suc ( y +o z ) )
52	48, 51	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) <-> suc ( suc y +o z ) = suc suc ( y +o z ) ) )
53	46, 52	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) )
54	53	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> ( y e. om -> ( ( suc y +o z ) = suc ( y +o z ) -> ( suc y +o suc z ) = suc ( y +o suc z ) ) ) )
55	28, 33, 38, 45, 54	finds2 4697	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o x ) = suc ( y +o x ) ) )
56	23, 55	vtoclga 2868	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( y e. om -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) ) )
57	56	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( suc y +o B ) = suc ( y +o B ) )
58		nnasuc 6639	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
59	57, 58	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) <-> suc ( y +o B ) = suc ( B +o y ) ) )
60	17, 59	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) )
61	60	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y +o B ) = ( B +o y ) -> ( suc y +o B ) = ( B +o suc y ) ) ) )
62	7, 10, 13, 16, 61	finds2 4697	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x +o B ) = ( B +o x ) ) )
63	4, 62	vtoclga 2868	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A +o B ) = ( B +o A ) ) )
64	63	imp 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) = ( B +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3492   suc csuc 4460   omcom 4686  (class class class)co 6013   +o coa 6574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6651  nnaordi  6671  nnaordr  6673  nnaword  6674  nnaword2  6677  nnawordi  6678  addcompig  7539  nqpnq0nq  7663  prarloclemlt  7703  prarloclemlo  7704