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Theorem nnacom 6446
Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )

Proof of Theorem nnacom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5846 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +o  B )  =  ( A  +o  B ) )
2 oveq2 5847 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  A
) )
31, 2eqeq12d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) ) ) )
5 oveq1 5846 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  +o  B )  =  ( (/)  +o  B
) )
6 oveq2 5847 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <->  ( (/)  +o  B
)  =  ( B  +o  (/) ) ) )
8 oveq1 5846 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +o  B )  =  ( y  +o  B ) )
9 oveq2 5847 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
108, 9eqeq12d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +o  B
)  =  ( B  +o  x )  <->  ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y ) ) )
11 oveq1 5846 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  +o  B
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
12 oveq2 5847 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2179 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
14 nna0r 6440 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  B )
15 nna0 6436 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1614, 15eqtr4d 2200 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
+o  B )  =  ( B  +o  (/) ) )
17 suceq 4377 . . . . . 6  |-  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  suc  ( y  +o  B
)  =  suc  ( B  +o  y ) )
18 oveq2 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  B ) )
19 oveq2 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  B ) )
20 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  B )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  B ) )
2218, 21eqeq12d 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) ) )
2322imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
) )  <->  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B ) ) ) )
24 oveq2 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  (/) ) )
25 oveq2 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) ) )
26 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  (/) )  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  (
y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
2824, 27eqeq12d 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x )  <-> 
( suc  y  +o  (/) )  =  suc  (
y  +o  (/) ) ) )
29 oveq2 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  ( suc  y  +o  z ) )
30 oveq2 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +o  x )  =  ( y  +o  z ) )
31 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  z ) )
3329, 32eqeq12d 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
) ) )
34 oveq2 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( suc  y  +o  x )  =  ( suc  y  +o  suc  z ) )
35 oveq2 5847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( y  +o  x
)  =  ( y  +o  suc  z ) )
36 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  x )  =  ( y  +o 
suc  z )  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  z  ->  suc  ( y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  suc  z
) )
3834, 37eqeq12d 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  z  -> 
( ( suc  y  +o  x )  =  suc  ( y  +o  x
)  <->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z ) ) )
39 peano2 4569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
40 nna0 6436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  y )
42 nna0 6436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  (/) )  =  y )
43 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  (/) )  =  y  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( y  +o  (/) )  =  suc  y )
4541, 44eqtr4d 2200 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  (/) )  =  suc  ( y  +o  (/) ) )
46 suceq 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  y  +o  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
47 nnasuc 6438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
4839, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( suc  y  +o 
suc  z )  =  suc  ( suc  y  +o  z ) )
49 nnasuc 6438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  z
) )
50 suceq 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +o  suc  z
)  =  suc  (
y  +o  z )  ->  suc  ( y  +o  suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  suc  ( y  +o 
suc  z )  =  suc  suc  ( y  +o  z ) )
5248, 51eqeq12d 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o 
suc  z )  <->  suc  ( suc  y  +o  z )  =  suc  suc  (
y  +o  z ) ) )
5346, 52syl5ibr 155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) )
5453expcom 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( ( suc  y  +o  z )  =  suc  ( y  +o  z
)  ->  ( suc  y  +o  suc  z )  =  suc  ( y  +o  suc  z ) ) ) )
5528, 33, 38, 45, 54finds2 4575 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  x
)  =  suc  (
y  +o  x ) ) )
5623, 55vtoclga 2790 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  ( suc  y  +o  B
)  =  suc  (
y  +o  B ) ) )
5756imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  suc  ( y  +o  B
) )
58 nnasuc 6438 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5957, 58eqeq12d 2179 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
)  <->  suc  ( y  +o  B )  =  suc  ( B  +o  y
) ) )
6017, 59syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  B )  =  ( B  +o  y )  ->  ( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) )
6160expcom 115 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  +o  B
)  =  ( B  +o  y )  -> 
( suc  y  +o  B )  =  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
627, 10, 13, 16, 61finds2 4575 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  +o  B )  =  ( B  +o  x ) ) )
634, 62vtoclga 2790 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  +o  B )  =  ( B  +o  A ) ) )
6463imp 123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135   (/)c0 3407   suc csuc 4340   omcom 4564  (class class class)co 5839    +o coa 6375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-iord 4341  df-on 4343  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-oadd 6382
This theorem is referenced by:  nnmsucr  6450  nnaordi  6470  nnaordr  6472  nnaword  6473  nnaword2  6476  nnawordi  6477  addcompig  7264  nqpnq0nq  7388  prarloclemlt  7428  prarloclemlo  7429
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