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Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
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nnacom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq1 5789 |
. . . . 5
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2 | oveq2 5790 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | eqeq12d 2155 |
. . . 4
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4 | 3 | imbi2d 229 |
. . 3
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5 | oveq1 5789 |
. . . . 5
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6 | oveq2 5790 |
. . . . 5
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7 | 5, 6 | eqeq12d 2155 |
. . . 4
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8 | oveq1 5789 |
. . . . 5
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9 | oveq2 5790 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | eqeq12d 2155 |
. . . 4
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11 | oveq1 5789 |
. . . . 5
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12 | oveq2 5790 |
. . . . 5
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13 | 11, 12 | eqeq12d 2155 |
. . . 4
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14 | nna0r 6382 |
. . . . 5
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15 | nna0 6378 |
. . . . 5
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16 | 14, 15 | eqtr4d 2176 |
. . . 4
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17 | suceq 4332 |
. . . . . 6
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18 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 18, 21 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 22 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . 9
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24 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 25, 26 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 24, 27 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . 10
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29 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 30, 31 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 29, 32 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . 10
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34 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 34, 37 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . 10
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39 | peano2 4517 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | nna0 6378 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | nna0 6378 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 42, 43 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 41, 44 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . . . 10
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46 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | nnasuc 6380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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48 | 39, 47 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . . 13
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49 | nnasuc 6380 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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50 | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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51 | 49, 50 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
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52 | 48, 51 | eqeq12d 2155 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | 46, 52 | syl5ibr 155 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | expcom 115 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 28, 33, 38, 45, 54 | finds2 4523 |
. . . . . . . . 9
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56 | 23, 55 | vtoclga 2755 |
. . . . . . . 8
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57 | 56 | imp 123 |
. . . . . . 7
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58 | nnasuc 6380 |
. . . . . . 7
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59 | 57, 58 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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60 | 17, 59 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
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61 | 60 | expcom 115 |
. . . 4
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62 | 7, 10, 13, 16, 61 | finds2 4523 |
. . 3
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63 | 4, 62 | vtoclga 2755 |
. 2
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64 | 63 | imp 123 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-oadd 6325 |
This theorem is referenced by: nnmsucr 6392 nnaordi 6412 nnaordr 6414 nnaword 6415 nnaword2 6418 nnawordi 6419 addcompig 7161 nqpnq0nq 7285 prarloclemlt 7325 prarloclemlo 7326 |
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