Theorem nninfisollemeq 7422

Description: Lemma for nninfisol 7423. The case where N is a successor and N and X are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemeq.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemeq.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemeq	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ℕ∞ )
2		nninfisol.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
3		nninfisollemeq.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = 1o )
4		nninfisol.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
5	1, 2, 3, 4	nnnninfeq2 7419	. . . 4 |- ( ph -> X = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
6	5	eqcomd 2238	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
7	6	orcd 741	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
8		df-dc 843	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3507   ifcif 3619   U.cuni 3913   |-> cmpt 4170   omcom 4711   ` cfv 5351   1oc1o 6639  ℕ_∞xnninf 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1o 6646  df-2o 6647  df-map 6883  df-nninf 7410

This theorem is referenced by:  nninfisol  7423