Theorem nninfisollemeq 7147

Description: Lemma for nninfisol 7148. The case where N is a successor and N and X are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemeq.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemeq.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = 1o )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemeq	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ℕ∞ )
2		nninfisol.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
3		nninfisollemeq.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = 1o )
4		nninfisol.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
5	1, 2, 3, 4	nnnninfeq2 7144	. . . 4 |- ( ph -> X = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
6	5	eqcomd 2194	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
7	6	orcd 734	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
8		df-dc 836	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   e. wcel 2159   =/= wne 2359   (/)c0 3436   ifcif 3548   U.cuni 3823   |-> cmpt 4078   omcom 4603   ` cfv 5230   1oc1o 6427  ℕ_∞xnninf 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1o 6434  df-2o 6435  df-map 6667  df-nninf 7136

This theorem is referenced by:  nninfisol  7148