Theorem nninfisollemeq 7087

Description: Lemma for nninfisol 7088. The case where 𝑁 is a successor and 𝑁 and 𝑋 are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollemeq.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ ∅)
nninfisollemeq.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = 1o)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemeq	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollemeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
2		nninfisol.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		nninfisollemeq.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = 1o)
4		nninfisol.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
5	1, 2, 3, 4	nnnninfeq2 7084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
6	5	eqcomd 2170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
7	6	orcd 723	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
8		df-dc 825	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
9	7, 8	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  ∅c0 3404  ifcif 3515  ∪ cuni 3783   ↦ cmpt 4037  ωcom 4561  ‘cfv 5182  1_oc1o 6368  ℕ_∞xnninf 7075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1o 6375  df-2o 6376  df-map 6607  df-nninf 7076

This theorem is referenced by:  nninfisol  7088