Theorem enqex 7473

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7425	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4790	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4790	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7460	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4749	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3225	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4182	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   {copab 4104   X. cxp 4673  (class class class)co 5944   N.cnpi 7385   .N cmi 7387   ~Q ceq 7392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-opab 4106  df-iom 4639  df-xp 4681  df-ni 7417  df-enq 7460

This theorem is referenced by:  1nq  7479  addpipqqs  7483  mulpipqqs  7486  ordpipqqs  7487  addclnq  7488  mulclnq  7489  dmaddpq  7492  dmmulpq  7493  recexnq  7503  ltexnqq  7521  prarloclemarch  7531  prarloclemarch2  7532  nnnq  7535  nqpnq0nq  7566  prarloclemlt  7606  prarloclemlo  7607  prarloclemcalc  7615  nqprm  7655