Theorem enqex 7640

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7592	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4848	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4848	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7627	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4806	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3260	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4232	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   {copab 4154   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   N.cnpi 7552   .N cmi 7554   ~Q ceq 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-opab 4156  df-iom 4695  df-xp 4737  df-ni 7584  df-enq 7627

This theorem is referenced by:  1nq  7646  addpipqqs  7650  mulpipqqs  7653  ordpipqqs  7654  addclnq  7655  mulclnq  7656  dmaddpq  7659  dmmulpq  7660  recexnq  7670  ltexnqq  7688  prarloclemarch  7698  prarloclemarch2  7699  nnnq  7702  nqpnq0nq  7733  prarloclemlt  7773  prarloclemlo  7774  prarloclemcalc  7782  nqprm  7822