Theorem enqex 7192

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7144	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4662	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4662	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7179	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4621	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3134	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4074	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   <.cop 3535   {copab 3996   X. cxp 4545  (class class class)co 5782   N.cnpi 7104   .N cmi 7106   ~Q ceq 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-opab 3998  df-iom 4513  df-xp 4553  df-ni 7136  df-enq 7179

This theorem is referenced by:  1nq  7198  addpipqqs  7202  mulpipqqs  7205  ordpipqqs  7206  addclnq  7207  mulclnq  7208  dmaddpq  7211  dmmulpq  7212  recexnq  7222  ltexnqq  7240  prarloclemarch  7250  prarloclemarch2  7251  nnnq  7254  nqpnq0nq  7285  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  prarloclemcalc  7334  nqprm  7374