Theorem enqex 7337

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7289	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4737	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4737	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7324	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4696	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3187	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4138	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3594   {copab 4060   X. cxp 4620  (class class class)co 5868   N.cnpi 7249   .N cmi 7251   ~Q ceq 7256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-iinf 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-opab 4062  df-iom 4586  df-xp 4628  df-ni 7281  df-enq 7324

This theorem is referenced by:  1nq  7343  addpipqqs  7347  mulpipqqs  7350  ordpipqqs  7351  addclnq  7352  mulclnq  7353  dmaddpq  7356  dmmulpq  7357  recexnq  7367  ltexnqq  7385  prarloclemarch  7395  prarloclemarch2  7396  nnnq  7399  nqpnq0nq  7430  prarloclemlt  7470  prarloclemlo  7471  prarloclemcalc  7479  nqprm  7519