Theorem enqex 7168

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7120	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4654	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4654	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7155	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4613	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3129	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4066	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   {copab 3988   X. cxp 4537  (class class class)co 5774   N.cnpi 7080   .N cmi 7082   ~Q ceq 7087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-opab 3990  df-iom 4505  df-xp 4545  df-ni 7112  df-enq 7155

This theorem is referenced by:  1nq  7174  addpipqqs  7178  mulpipqqs  7181  ordpipqqs  7182  addclnq  7183  mulclnq  7184  dmaddpq  7187  dmmulpq  7188  recexnq  7198  ltexnqq  7216  prarloclemarch  7226  prarloclemarch2  7227  nnnq  7230  nqpnq0nq  7261  prarloclemlt  7301  prarloclemlo  7302  prarloclemcalc  7310  nqprm  7350