ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqex Unicode version

Theorem enqex 7132
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
enqex  |-  ~Q  e.  _V

Proof of Theorem enqex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 niex 7084 . . . 4  |-  N.  e.  _V
21, 1xpex 4622 . . 3  |-  ( N. 
X.  N. )  e.  _V
32, 2xpex 4622 . 2  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )  e.  _V
4 df-enq 7119 . . 3  |-  ~Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
5 opabssxp 4581 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
64, 5eqsstri 3097 . 2  |-  ~Q  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
73, 6ssexi 4034 1  |-  ~Q  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498   {copab 3956    X. cxp 4505  (class class class)co 5740   N.cnpi 7044    .N cmi 7046    ~Q ceq 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-opab 3958  df-iom 4473  df-xp 4513  df-ni 7076  df-enq 7119
This theorem is referenced by:  1nq  7138  addpipqqs  7142  mulpipqqs  7145  ordpipqqs  7146  addclnq  7147  mulclnq  7148  dmaddpq  7151  dmmulpq  7152  recexnq  7162  ltexnqq  7180  prarloclemarch  7190  prarloclemarch2  7191  nnnq  7194  nqpnq0nq  7225  prarloclemlt  7265  prarloclemlo  7266  prarloclemcalc  7274  nqprm  7314
  Copyright terms: Public domain W3C validator