Theorem enqex 7427

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7379	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4778	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4778	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7414	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4737	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3215	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4171	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3625   {copab 4093   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   N.cnpi 7339   .N cmi 7341   ~Q ceq 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-opab 4095  df-iom 4627  df-xp 4669  df-ni 7371  df-enq 7414

This theorem is referenced by:  1nq  7433  addpipqqs  7437  mulpipqqs  7440  ordpipqqs  7441  addclnq  7442  mulclnq  7443  dmaddpq  7446  dmmulpq  7447  recexnq  7457  ltexnqq  7475  prarloclemarch  7485  prarloclemarch2  7486  nnnq  7489  nqpnq0nq  7520  prarloclemlt  7560  prarloclemlo  7561  prarloclemcalc  7569  nqprm  7609