Theorem enqex 7508

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7460	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4808	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4808	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7495	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4767	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3233	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4198	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   <.cop 3646   {copab 4120   X. cxp 4691  (class class class)co 5967   N.cnpi 7420   .N cmi 7422   ~Q ceq 7427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-opab 4122  df-iom 4657  df-xp 4699  df-ni 7452  df-enq 7495

This theorem is referenced by:  1nq  7514  addpipqqs  7518  mulpipqqs  7521  ordpipqqs  7522  addclnq  7523  mulclnq  7524  dmaddpq  7527  dmmulpq  7528  recexnq  7538  ltexnqq  7556  prarloclemarch  7566  prarloclemarch2  7567  nnnq  7570  nqpnq0nq  7601  prarloclemlt  7641  prarloclemlo  7642  prarloclemcalc  7650  nqprm  7690