Theorem enqex 7691

Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqex	|- ~Q e. _V

Proof of Theorem enqex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 7643	. . . 4 |- N. e. _V
2	1, 1	xpex 4871	. . 3 |- ( N. X. N. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4871	. 2 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) e. _V
4		df-enq 7678	. . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5		opabssxp 4829	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) } C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
6	4, 5	eqsstri 3274	. 2 |- ~Q C_ ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) )
7	3, 6	ssexi 4253	1 |- ~Q e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   {copab 4175   X. cxp 4752  (class class class)co 6058   N.cnpi 7603   .N cmi 7605   ~Q ceq 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-opab 4177  df-iom 4718  df-xp 4760  df-ni 7635  df-enq 7678

This theorem is referenced by:  1nq  7697  addpipqqs  7701  mulpipqqs  7704  ordpipqqs  7705  addclnq  7706  mulclnq  7707  dmaddpq  7710  dmmulpq  7711  recexnq  7721  ltexnqq  7739  prarloclemarch  7749  prarloclemarch2  7750  nnnq  7753  nqpnq0nq  7784  prarloclemlt  7824  prarloclemlo  7825  prarloclemcalc  7833  nqprm  7873