Theorem ltrelnq 7696

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	|- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7684	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
2		opabssxp 4829	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) } C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3274	1 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   C_ wss 3214   <.cop 3697   class class class wbr 4114   {copab 4175   X. cxp 4752  (class class class)co 6058   [cec 6778   .N cmi 7605   <N clti 7606   ~Q ceq 7610   Q.cnq 7611   <Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-in 3220  df-ss 3227  df-opab 4177  df-xp 4760  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  ltanqi  7733  ltmnqi  7734  lt2addnq  7735  lt2mulnq  7736  ltexnqi  7740  ltbtwnnqq  7746  ltbtwnnq  7747  prarloclemarch2  7750  ltrnqi  7752  prcdnql  7815  prcunqu  7816  prnmaxl  7819  prnminu  7820  prloc  7822  prarloclemcalc  7833  genplt2i  7841  genpcdl  7850  genpcuu  7851  genpdisj  7854  addnqprllem  7858  addnqprulem  7859  addlocprlemlt  7862  addlocprlemeq  7864  addlocprlemgt  7865  addlocprlem  7866  nqprdisj  7875  nqprloc  7876  nqprxx  7877  ltnqex  7880  gtnqex  7881  addnqprlemrl  7888  addnqprlemru  7889  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  appdivnq  7894  prmuloclemcalc  7896  prmuloc  7897  mulnqprlemrl  7904  mulnqprlemru  7905  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  1idprl  7921  1idpru  7922  ltnqpri  7925  ltsopr  7927  ltexprlemopl  7932  ltexprlemopu  7934  ltexprlemdisj  7937  ltexprlemloc  7938  ltexprlemfl  7940  ltexprlemru  7943  recexprlemell  7953  recexprlemelu  7954  recexprlemlol  7957  recexprlemupu  7959  recexprlemdisj  7961  recexprlemloc  7962  recexprlempr  7963  recexprlem1ssl  7964  recexprlem1ssu  7965  recexprlemss1l  7966  recexprlemss1u  7967  cauappcvgprlemm  7976  cauappcvgprlemopl  7977  cauappcvgprlemlol  7978  cauappcvgprlemupu  7980  cauappcvgprlemladdfu  7985  cauappcvgprlemladdfl  7986  caucvgprlemk  7996  caucvgprlemnkj  7997  caucvgprlemnbj  7998  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemupu  8003  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprprlemloccalc  8015  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemopl  8028  caucvgprprlemlol  8029  caucvgprprlemupu  8031  caucvgprprlemloc  8034  suplocexprlemrl  8048  suplocexprlemru  8050