Theorem ltrelnq 7628

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	|- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7616	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
2		opabssxp 4806	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) } C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3260	1 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   C_ wss 3201   <.cop 3676   class class class wbr 4093   {copab 4154   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   [cec 6743   .N cmi 7537   <N clti 7538   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-in 3207  df-ss 3214  df-opab 4156  df-xp 4737  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  ltanqi  7665  ltmnqi  7666  lt2addnq  7667  lt2mulnq  7668  ltexnqi  7672  ltbtwnnqq  7678  ltbtwnnq  7679  prarloclemarch2  7682  ltrnqi  7684  prcdnql  7747  prcunqu  7748  prnmaxl  7751  prnminu  7752  prloc  7754  prarloclemcalc  7765  genplt2i  7773  genpcdl  7782  genpcuu  7783  genpdisj  7786  addnqprllem  7790  addnqprulem  7791  addlocprlemlt  7794  addlocprlemeq  7796  addlocprlemgt  7797  addlocprlem  7798  nqprdisj  7807  nqprloc  7808  nqprxx  7809  ltnqex  7812  gtnqex  7813  addnqprlemrl  7820  addnqprlemru  7821  addnqprlemfl  7822  addnqprlemfu  7823  appdivnq  7826  prmuloclemcalc  7828  prmuloc  7829  mulnqprlemrl  7836  mulnqprlemru  7837  mulnqprlemfl  7838  mulnqprlemfu  7839  1idprl  7853  1idpru  7854  ltnqpri  7857  ltsopr  7859  ltexprlemopl  7864  ltexprlemopu  7866  ltexprlemdisj  7869  ltexprlemloc  7870  ltexprlemfl  7872  ltexprlemru  7875  recexprlemell  7885  recexprlemelu  7886  recexprlemlol  7889  recexprlemupu  7891  recexprlemdisj  7893  recexprlemloc  7894  recexprlempr  7895  recexprlem1ssl  7896  recexprlem1ssu  7897  recexprlemss1l  7898  recexprlemss1u  7899  cauappcvgprlemm  7908  cauappcvgprlemopl  7909  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemupu  7912  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdfl  7918  caucvgprlemk  7928  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemopl  7932  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemupu  7935  caucvgprlemloc  7938  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprprlemloccalc  7947  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemopl  7960  caucvgprprlemlol  7961  caucvgprprlemupu  7963  caucvgprprlemloc  7966  suplocexprlemrl  7980  suplocexprlemru  7982