Theorem ltrelnq 7320

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	|- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables x y z w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7308	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
2		opabssxp 4683	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) } C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	eqsstri 3179	1 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3584   class class class wbr 3987   {copab 4047   X. cxp 4607  (class class class)co 5851   [cec 6509   .N cmi 7229   <N clti 7230   ~Q ceq 7234   Q.cnq 7235   <Q cltq 7240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-in 3127  df-ss 3134  df-opab 4049  df-xp 4615  df-ltnqqs 7308

This theorem is referenced by:  ltanqi  7357  ltmnqi  7358  lt2addnq  7359  lt2mulnq  7360  ltexnqi  7364  ltbtwnnqq  7370  ltbtwnnq  7371  prarloclemarch2  7374  ltrnqi  7376  prcdnql  7439  prcunqu  7440  prnmaxl  7443  prnminu  7444  prloc  7446  prarloclemcalc  7457  genplt2i  7465  genpcdl  7474  genpcuu  7475  genpdisj  7478  addnqprllem  7482  addnqprulem  7483  addlocprlemlt  7486  addlocprlemeq  7488  addlocprlemgt  7489  addlocprlem  7490  nqprdisj  7499  nqprloc  7500  nqprxx  7501  ltnqex  7504  gtnqex  7505  addnqprlemrl  7512  addnqprlemru  7513  addnqprlemfl  7514  addnqprlemfu  7515  appdivnq  7518  prmuloclemcalc  7520  prmuloc  7521  mulnqprlemrl  7528  mulnqprlemru  7529  mulnqprlemfl  7530  mulnqprlemfu  7531  1idprl  7545  1idpru  7546  ltnqpri  7549  ltsopr  7551  ltexprlemopl  7556  ltexprlemopu  7558  ltexprlemdisj  7561  ltexprlemloc  7562  ltexprlemfl  7564  ltexprlemru  7567  recexprlemell  7577  recexprlemelu  7578  recexprlemlol  7581  recexprlemupu  7583  recexprlemdisj  7585  recexprlemloc  7586  recexprlempr  7587  recexprlem1ssl  7588  recexprlem1ssu  7589  recexprlemss1l  7590  recexprlemss1u  7591  cauappcvgprlemm  7600  cauappcvgprlemopl  7601  cauappcvgprlemlol  7602  cauappcvgprlemupu  7604  cauappcvgprlemladdfu  7609  cauappcvgprlemladdfl  7610  caucvgprlemk  7620  caucvgprlemnkj  7621  caucvgprlemnbj  7622  caucvgprlemm  7623  caucvgprlemopl  7624  caucvgprlemlol  7625  caucvgprlemupu  7627  caucvgprlemloc  7630  caucvgprlemladdfu  7632  caucvgprprlemloccalc  7639  caucvgprprlemml  7649  caucvgprprlemopl  7652  caucvgprprlemlol  7653  caucvgprprlemupu  7655  caucvgprprlemloc  7658  suplocexprlemrl  7672  suplocexprlemru  7674