Theorem php5fin 6860

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		php5 6836	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ≈ suc 𝑛)
5	4	ad2antrl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 ≈ suc 𝑛)
6		enen1 6818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7	6	ad2antll 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
8		fiunsnnn 6859	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
9		enen2 6819	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛 → (𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
11	7, 10	bitrd 187	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
12	5, 11	mtbird 668	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
13	3, 12	rexlimddv 2592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119  {csn 3583   class class class wbr 3989  suc csuc 4350  ωcom 4574   ≈ cen 6716  Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6897  unsnfidcel  6898