Theorem php5fin 6885

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		php5 6861	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ≈ suc 𝑛)
5	4	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 ≈ suc 𝑛)
6		enen1 6843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7	6	ad2antll 491	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵})))
8		fiunsnnn 6884	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
9		enen2 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛 → (𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ 𝑛 ≈ suc 𝑛))
12	5, 11	mtbird 673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
13	3, 12	rexlimddv 2599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ∪ {𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2739   ∖ cdif 3128   ∪ cun 3129  {csn 3594   class class class wbr 4005  suc csuc 4367  ωcom 4591   ≈ cen 6741  Fincfn 6743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6922  unsnfidcel  6923