Theorem unsnfidcel 7181

Description: The -. B e. A condition in unsnfi 7179. This is intended to show that unsnfi 7179 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7000	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 7000	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
6	5	3ad2ant3 1047	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
10		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
11	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ n )
12		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m = n )
13	11, 12	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ m )
14	13	ensymd 7023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m ~~ A )
15		entr 7024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A u. { B } ) ~~ m /\ m ~~ A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
17	16	ensymd 7023	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
18		simp1 1024	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
19	18	ad4antr 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A e. Fin )
20		simpl2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. V )
22	21	elexd 2827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. _V )
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
24	22, 23	eldifd 3221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. ( _V \ A ) )
25		php5fin 7139	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
26	19, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
27	17, 26	pm2.65da 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. -. B e. A )
28	27	olcd 742	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
29	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
30		snssi 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
31		ssequn2 3392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. A -> ( A u. { B } ) = A )
33	32	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
35	29, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ m )
36	35	ensymd 7023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ A )
37	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ n )
38		entr 7024	. . . . . . . . 9 |- ( ( m ~~ A /\ A ~~ n ) -> m ~~ n )
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ n )
40		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m e. om )
42		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> n e. om )
44		nneneq 7111	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m = n )
47		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> -. m = n )
48	46, 47	pm2.65da 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. B e. A )
49	48	orcd 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
50	42	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
51		nndceq 6732	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
52	40, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
53		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
55	28, 49, 54	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
56	7, 55	rexlimddv 2665	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
57	3, 56	rexlimddv 2665	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
58		df-dc 843	. 2 |- (DECID -. B e. A <-> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
59	57, 58	sylibr 134	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   {csn 3689   class class class wbr 4109   omcom 4712   ~~ cen 6973   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by: (None)