Theorem unsnfidcel 6865

Description: The -. B e. A condition in unsnfi 6863. This is intended to show that unsnfi 6863 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6706	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 6706	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
6	5	3ad2ant3 1005	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
7	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
9	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
10		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
11	10	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ n )
12		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m = n )
13	11, 12	breqtrrd 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ m )
14	13	ensymd 6728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m ~~ A )
15		entr 6729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A u. { B } ) ~~ m /\ m ~~ A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
16	9, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
17	16	ensymd 6728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
18		simp1 982	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
19	18	ad4antr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A e. Fin )
20		simpl2 986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
21	20	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. V )
22	21	elexd 2725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. _V )
23		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
24	22, 23	eldifd 3112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. ( _V \ A ) )
25		php5fin 6827	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
26	19, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
27	17, 26	pm2.65da 651	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. -. B e. A )
28	27	olcd 724	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
29	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
30		snssi 3700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
31		ssequn2 3280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
32	30, 31	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. A -> ( A u. { B } ) = A )
33	32	breq1d 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
35	29, 34	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ m )
36	35	ensymd 6728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ A )
37	10	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ n )
38		entr 6729	. . . . . . . . 9 |- ( ( m ~~ A /\ A ~~ n ) -> m ~~ n )
39	36, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ n )
40		simprl 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m e. om )
42		simprl 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
43	42	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> n e. om )
44		nneneq 6802	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
46	39, 45	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m = n )
47		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> -. m = n )
48	46, 47	pm2.65da 651	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. B e. A )
49	48	orcd 723	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
50	42	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
51		nndceq 6446	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
52	40, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
53		exmiddc 822	. . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
55	28, 49, 54	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
56	7, 55	rexlimddv 2579	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
57	3, 56	rexlimddv 2579	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
58		df-dc 821	. 2 |- (DECID -. B e. A <-> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
59	57, 58	sylibr 133	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   \ cdif 3099   u. cun 3100   C_ wss 3102   {csn 3560   class class class wbr 3965   omcom 4549   ~~ cen 6683   Fincfn 6685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688

This theorem is referenced by: (None)