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Theorem unsnfidcel 6775
Description: The  -.  B  e.  A condition in unsnfi 6773. This is intended to show that unsnfi 6773 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcel  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  A
)

Proof of Theorem unsnfidcel
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6621 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
323ad2ant1 985 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 isfi 6621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
54biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
653ad2ant3 987 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
76adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
8 simprr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m )
98ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
10 simprr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
1110ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  n )
12 simplr 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  m  =  n )
1311, 12breqtrrd 3924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  m )
1413ensymd 6643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  m  ~~  A )
15 entr 6644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  u.  { B } )  ~~  m  /\  m  ~~  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  A )
169, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  A
)
1716ensymd 6643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
18 simp1 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1918ad4antr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
20 simpl2 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  B  e.  V )
2120ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  V )
2221elexd 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  _V )
23 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  A
)
2422, 23eldifd 3049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  ( _V 
\  A ) )
25 php5fin 6742 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
2619, 24, 25syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B } ) )
2717, 26pm2.65da 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  -.  -.  B  e.  A
)
2827olcd 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A ) )
298ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } ) 
~~  m )
30 snssi 3632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
31 ssequn2 3217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3230, 31sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  A  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3332breq1d 3907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( A  u.  { B } )  ~~  m  <->  A 
~~  m ) )
3433adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( ( A  u.  { B } )  ~~  m  <->  A 
~~  m ) )
3529, 34mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  A  ~~  m )
3635ensymd 6643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  ~~  A )
3710ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  A  ~~  n )
38 entr 6644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  ~~  A  /\  A  ~~  n )  ->  m  ~~  n )
3936, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  ~~  n )
40 simprl 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  m  e.  om )
4140ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  e.  om )
42 simprl 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  n  e.  om )
4342ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  n  e.  om )
44 nneneq 6717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  ~~  n  <->  m  =  n ) )
4541, 43, 44syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( m  ~~  n  <->  m  =  n
) )
4639, 45mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  =  n )
47 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  m  =  n )
4846, 47pm2.65da 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  -.  B  e.  A
)
4948orcd 705 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A )
)
5042adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  n  e.  om )
51 nndceq 6361 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  -> DECID  m  =  n )
5240, 50, 51syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  -> DECID 
m  =  n )
53 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  m  =  n  ->  ( m  =  n  \/  -.  m  =  n )
)
5452, 53syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( m  =  n  \/  -.  m  =  n ) )
5528, 49, 54mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
567, 55rexlimddv 2529 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A )
)
573, 56rexlimddv 2529 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
58 df-dc 803 . 2  |-  (DECID  -.  B  e.  A  <->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
5957, 58sylibr 133 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    \ cdif 3036    u. cun 3037    C_ wss 3039   {csn 3495   class class class wbr 3897   omcom 4472    ~~ cen 6598   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
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