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Theorem unsnfidcel 6583
Description: The  -.  B  e.  A condition in unsnfi 6581. This is intended to show that unsnfi 6581 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcel  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  A
)

Proof of Theorem unsnfidcel
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6430 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 118 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
323ad2ant1 962 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 isfi 6430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
54biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  Fin  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
653ad2ant3 964 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
76adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  E. m  e.  om  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
8 simprr 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m )
98ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  m
)
10 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  A  ~~  n )
1110ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  n )
12 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  m  =  n )
1311, 12breqtrrd 3846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  m )
1413ensymd 6452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  m  ~~  A )
15 entr 6453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  u.  { B } )  ~~  m  /\  m  ~~  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  A )
169, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  A
)
1716ensymd 6452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
18 simp1 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1918ad4antr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
20 simpl2 945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  B  e.  V )
2120ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  V )
2221elexd 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  _V )
23 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  A
)
2422, 23eldifd 2998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  B  e.  ( _V 
\  A ) )
25 php5fin 6550 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
2619, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  /\  -.  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B } ) )
2717, 26pm2.65da 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  -.  -.  B  e.  A
)
2827olcd 686 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  m  =  n )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A ) )
298ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } ) 
~~  m )
30 snssi 3564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  A  ->  { B }  C_  A )
31 ssequn2 3162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3230, 31sylib 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  A  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
3332breq1d 3830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  (
( A  u.  { B } )  ~~  m  <->  A 
~~  m ) )
3433adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( ( A  u.  { B } )  ~~  m  <->  A 
~~  m ) )
3529, 34mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  A  ~~  m )
3635ensymd 6452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  ~~  A )
3710ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  A  ~~  n )
38 entr 6453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  ~~  A  /\  A  ~~  n )  ->  m  ~~  n )
3936, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  ~~  n )
40 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  m  e.  om )
4140ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  e.  om )
42 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  n  e.  om )
4342ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  n  e.  om )
44 nneneq 6525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  ~~  n  <->  m  =  n ) )
4541, 43, 44syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  ( m  ~~  n  <->  m  =  n
) )
4639, 45mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  m  =  n )
47 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  m  =  n )
4846, 47pm2.65da 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  -.  B  e.  A
)
4948orcd 685 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e.  om  /\  ( A  u.  { B } )  ~~  m
) )  /\  -.  m  =  n )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A )
)
5042adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  n  e.  om )
51 nndceq 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  -> DECID  m  =  n )
5240, 50, 51syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  -> DECID 
m  =  n )
53 exmiddc 780 . . . . . 6  |-  (DECID  m  =  n  ->  ( m  =  n  \/  -.  m  =  n )
)
5452, 53syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( m  =  n  \/  -.  m  =  n ) )
5528, 49, 54mpjaodan 745 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e. 
Fin )  /\  (
n  e.  om  /\  A  ~~  n ) )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( A  u.  { B } ) 
~~  m ) )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
567, 55rexlimddv 2489 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A )
)
573, 56rexlimddv 2489 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  ->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
58 df-dc 779 . 2  |-  (DECID  -.  B  e.  A  <->  ( -.  B  e.  A  \/  -.  -.  B  e.  A
) )
5957, 58sylibr 132 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )  -> DECID  -.  B  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    \ cdif 2985    u. cun 2986    C_ wss 2988   {csn 3431   class class class wbr 3820   omcom 4378    ~~ cen 6407   Fincfn 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-1o 6135  df-er 6244  df-en 6410  df-fin 6412
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