Theorem unsnfidcel 7156

Description: The -. B e. A condition in unsnfi 7154. This is intended to show that unsnfi 7154 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6977	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 6977	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
6	5	3ad2ant3 1047	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
10		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
11	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ n )
12		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m = n )
13	11, 12	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ m )
14	13	ensymd 7000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m ~~ A )
15		entr 7001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A u. { B } ) ~~ m /\ m ~~ A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
17	16	ensymd 7000	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
18		simp1 1024	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
19	18	ad4antr 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A e. Fin )
20		simpl2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. V )
22	21	elexd 2817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. _V )
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
24	22, 23	eldifd 3211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. ( _V \ A ) )
25		php5fin 7114	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
26	19, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
27	17, 26	pm2.65da 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. -. B e. A )
28	27	olcd 742	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
29	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
30		snssi 3822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
31		ssequn2 3382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. A -> ( A u. { B } ) = A )
33	32	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
35	29, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ m )
36	35	ensymd 7000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ A )
37	10	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ n )
38		entr 7001	. . . . . . . . 9 |- ( ( m ~~ A /\ A ~~ n ) -> m ~~ n )
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ n )
40		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m e. om )
42		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> n e. om )
44		nneneq 7086	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m = n )
47		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> -. m = n )
48	46, 47	pm2.65da 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. B e. A )
49	48	orcd 741	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
50	42	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
51		nndceq 6710	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
52	40, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
53		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
55	28, 49, 54	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
56	7, 55	rexlimddv 2656	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
57	3, 56	rexlimddv 2656	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
58		df-dc 843	. 2 |- (DECID -. B e. A <-> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
59	57, 58	sylibr 134	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   class class class wbr 4093   omcom 4694   ~~ cen 6950   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by: (None)