Theorem unsnfidcel 7218

Description: The -. B e. A condition in unsnfi 7216. This is intended to show that unsnfi 7216 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcel	|- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Proof of Theorem unsnfidcel

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7037	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 7037	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
6	5	3ad2ant3 1051	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
9	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
10		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
11	10	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ n )
12		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m = n )
13	11, 12	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ m )
14	13	ensymd 7060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> m ~~ A )
15		entr 7061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A u. { B } ) ~~ m /\ m ~~ A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
16	9, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ A )
17	16	ensymd 7060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
18		simp1 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
19	18	ad4antr 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> A e. Fin )
20		simpl2 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> B e. V )
21	20	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. V )
22	21	elexd 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. _V )
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
24	22, 23	eldifd 3230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> B e. ( _V \ A ) )
25		php5fin 7176	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
26	19, 24, 25	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ -. B e. A ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
27	17, 26	pm2.65da 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. -. B e. A )
28	27	olcd 746	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
29	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
30		snssi 3854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
31		ssequn2 3402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. A -> ( A u. { B } ) = A )
33	32	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( ( A u. { B } ) ~~ m <-> A ~~ m ) )
35	29, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ m )
36	35	ensymd 7060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ A )
37	10	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> A ~~ n )
38		entr 7061	. . . . . . . . 9 |- ( ( m ~~ A /\ A ~~ n ) -> m ~~ n )
39	36, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m ~~ n )
40		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
41	40	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m e. om )
42		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
43	42	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> n e. om )
44		nneneq 7148	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> ( m ~~ n <-> m = n ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> m = n )
47		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ B e. A ) -> -. m = n )
48	46, 47	pm2.65da 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. B e. A )
49	48	orcd 745	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
50	42	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
51		nndceq 6762	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
52	40, 50, 51	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
53		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
55	28, 49, 54	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
56	7, 55	rexlimddv 2673	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
57	3, 56	rexlimddv 2673	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
58		df-dc 847	. 2 |- (DECID -. B e. A <-> ( -. B e. A \/ -. -. B e. A ) )
59	57, 58	sylibr 134	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   class class class wbr 4125   omcom 4732   ~~ cen 7010   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by: (None)