ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm Unicode version

Theorem phpelm 6894
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  B
)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  om )
2 nnon 4627 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3 onelss 4405 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
54imp 124 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  C_  A )
6 simpr 110 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
7 elirr 4558 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
87a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  B
)
96, 8eldifd 3154 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  ( A 
\  B ) )
10 eleq1 2252 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  <->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
1110spcegv 2840 . . 3  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  ( A  \  B )  ->  E. x  x  e.  ( A  \  B ) ) )
126, 9, 11sylc 62 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  E. x  x  e.  ( A  \  B
) )
13 phpm 6893 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A  /\  E. x  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  A  ~~  B )
141, 5, 12, 13syl3anc 1249 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104   E.wex 1503    e. wcel 2160    \ cdif 3141    C_ wss 3144   class class class wbr 4018   Oncon0 4381   omcom 4607    ~~ cen 6764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator