Theorem phpelm 7024

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A e. om )
2		nnon 4701	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
3		onelss 4477	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )
5	4	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B C_ A )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. A )
7		elirr 4632	. . . . 5 |- -. B e. B
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. B e. B )
9	6, 8	eldifd 3207	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
10		eleq1 2292	. . . 4 |- ( x = B -> ( x e. ( A \ B ) <-> B e. ( A \ B ) ) )
11	10	spcegv 2891	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) ) )
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
13		phpm 7023	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A /\ E. x x e. ( A \ B ) ) -> -. A ~~ B )
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1271	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   e. wcel 2200   \ cdif 3194   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   Oncon0 4453   omcom 4681   ~~ cen 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887

This theorem is referenced by: (None)