Theorem phpelm 6662

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A e. om )
2		nnon 4452	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
3		onelss 4238	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B C_ A )
6		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. A )
7		elirr 4385	. . . . 5 |- -. B e. B
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. B e. B )
9	6, 8	eldifd 3023	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
10		eleq1 2157	. . . 4 |- ( x = B -> ( x e. ( A \ B ) <-> B e. ( A \ B ) ) )
11	10	spcegv 2721	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) ) )
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
13		phpm 6661	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A /\ E. x x e. ( A \ B ) ) -> -. A ~~ B )
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1181	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1433   e. wcel 1445   \ cdif 3010   C_ wss 3013   class class class wbr 3867   Oncon0 4214   omcom 4433   ~~ cen 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539

This theorem is referenced by: (None)