Theorem phpelm 7052

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A e. om )
2		nnon 4708	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
3		onelss 4484	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )
5	4	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B C_ A )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. A )
7		elirr 4639	. . . . 5 |- -. B e. B
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. B e. B )
9	6, 8	eldifd 3210	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
10		eleq1 2294	. . . 4 |- ( x = B -> ( x e. ( A \ B ) <-> B e. ( A \ B ) ) )
11	10	spcegv 2894	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) ) )
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
13		phpm 7051	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A /\ E. x x e. ( A \ B ) ) -> -. A ~~ B )
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1273	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1540   e. wcel 2202   \ cdif 3197   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   Oncon0 4460   omcom 4688   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by: (None)