Theorem phpelm 6636

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A e. om )
2		nnon 4437	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
3		onelss 4223	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B C_ A )
6		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. A )
7		elirr 4370	. . . . 5 |- -. B e. B
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. B e. B )
9	6, 8	eldifd 3010	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
10		eleq1 2151	. . . 4 |- ( x = B -> ( x e. ( A \ B ) <-> B e. ( A \ B ) ) )
11	10	spcegv 2708	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) ) )
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
13		phpm 6635	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A /\ E. x x e. ( A \ B ) ) -> -. A ~~ B )
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1175	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1427   e. wcel 1439   \ cdif 2997   C_ wss 3000   class class class wbr 3851   Oncon0 4199   omcom 4418   ~~ cen 6509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513

This theorem is referenced by: (None)