Theorem phpelm 7168

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A e. om )
2		nnon 4757	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
3		onelss 4532	. . . 4 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )
5	4	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B C_ A )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. A )
7		elirr 4688	. . . . 5 |- -. B e. B
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. B e. B )
9	6, 8	eldifd 3230	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
10		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = B -> ( x e. ( A \ B ) <-> B e. ( A \ B ) ) )
11	10	spcegv 2913	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. ( A \ B ) -> E. x x e. ( A \ B ) ) )
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> E. x x e. ( A \ B ) )
13		phpm 7167	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A /\ E. x x e. ( A \ B ) ) -> -. A ~~ B )
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1278	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> -. A ~~ B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   \ cdif 3217   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   Oncon0 4508   omcom 4737   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024

This theorem is used by: (None)