Theorem phpelm 7123

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		nnon 4734	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3		onelss 4510	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	4	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
7		elirr 4665	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
9	6, 8	eldifd 3223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
10		eleq1 2297	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
11	10	spcegv 2907	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		phpm 7122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1274	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3210   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111  Oncon0 4486  ωcom 4714   ≈ cen 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979

This theorem is referenced by: (None)