ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm GIF version

Theorem phpelm 6884
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2 nnon 4624 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3 onelss 4402 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
42, 3syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
54imp 124 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 simpr 110 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7 elirr 4555 . . . . 5 ¬ 𝐵𝐵
87a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
96, 8eldifd 3154 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐵))
10 eleq1 2252 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐵)))
1110spcegv 2840 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
126, 9, 11sylc 62 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
13 phpm 6883 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝐴𝐵)
141, 5, 12, 13syl3anc 1249 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wex 1503  wcel 2160  cdif 3141  wss 3144   class class class wbr 4018  Oncon0 4378  ωcom 4604  cen 6756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator