ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm GIF version

Theorem phpelm 6909
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2 nnon 4634 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3 onelss 4412 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
42, 3syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
54imp 124 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 simpr 110 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7 elirr 4565 . . . . 5 ¬ 𝐵𝐵
87a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
96, 8eldifd 3159 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐵))
10 eleq1 2252 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐵)))
1110spcegv 2844 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
126, 9, 11sylc 62 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
13 phpm 6908 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝐴𝐵)
141, 5, 12, 13syl3anc 1249 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wex 1503  wcel 2160  cdif 3146  wss 3149   class class class wbr 4025  Oncon0 4388  ωcom 4614  cen 6779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-er 6574  df-en 6782  df-dom 6783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator