ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm GIF version

Theorem phpelm 6879
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2 nnon 4621 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3 onelss 4399 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
42, 3syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
54imp 124 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 simpr 110 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7 elirr 4552 . . . . 5 ¬ 𝐵𝐵
87a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
96, 8eldifd 3151 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐵))
10 eleq1 2250 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐵)))
1110spcegv 2837 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
126, 9, 11sylc 62 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
13 phpm 6878 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝐴𝐵)
141, 5, 12, 13syl3anc 1248 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wex 1502  wcel 2158  cdif 3138  wss 3141   class class class wbr 4015  Oncon0 4375  ωcom 4601  cen 6751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator