Theorem phpelm 6844

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phpelm	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem phpelm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2		nnon 4594	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3		onelss 4372	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	4	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
7		elirr 4525	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
9	6, 8	eldifd 3131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
10		eleq1 2233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
11	10	spcegv 2818	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
12	6, 9, 11	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
13		phpm 6843	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
14	1, 5, 12, 13	syl3anc 1233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3118   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  Oncon0 4348  ωcom 4574   ≈ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by: (None)