Theorem rdg0g 6549

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	|- ( A e. C -> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A )

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 6533	. . . 4 |- ( x = A -> rec ( F , x ) = rec ( F , A ) )
2	1	fveq1d 5637	. . 3 |- ( x = A -> ( rec ( F , x ) ` (/) ) = ( rec ( F , A ) ` (/) ) )
3		id 19	. . 3 |- ( x = A -> x = A )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. 2 |- ( x = A -> ( ( rec ( F , x ) ` (/) ) = x <-> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A ) )
5		vex 2803	. . 3 |- x e. _V
6	5	rdg0 6548	. 2 |- ( rec ( F , x ) ` (/) ) = x
7	4, 6	vtoclg 2862	1 |- ( A e. C -> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3492   ` cfv 5324   reccrdg 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-recs 6466  df-irdg 6531

This theorem is referenced by:  frecrdg  6569  oa0  6620  oei0  6622