Theorem rdg0g 6391

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	|- ( A e. C -> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A )

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 6375	. . . 4 |- ( x = A -> rec ( F , x ) = rec ( F , A ) )
2	1	fveq1d 5519	. . 3 |- ( x = A -> ( rec ( F , x ) ` (/) ) = ( rec ( F , A ) ` (/) ) )
3		id 19	. . 3 |- ( x = A -> x = A )
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 |- ( x = A -> ( ( rec ( F , x ) ` (/) ) = x <-> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A ) )
5		vex 2742	. . 3 |- x e. _V
6	5	rdg0 6390	. 2 |- ( rec ( F , x ) ` (/) ) = x
7	4, 6	vtoclg 2799	1 |- ( A e. C -> ( rec ( F , A ) ` (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424   ` cfv 5218   reccrdg 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-recs 6308  df-irdg 6373

This theorem is referenced by:  frecrdg  6411  oa0  6460  oei0  6462