ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0g GIF version

Theorem rdg0g 6293
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
rdg0g (𝐴𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgeq2 6277 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
21fveq1d 5431 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3 id 19 . . 3 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2155 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5 vex 2692 . . 3 𝑥 ∈ V
65rdg0 6292 . 2 (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
74, 6vtoclg 2749 1 (𝐴𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481  c0 3368  cfv 5131  reccrdg 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-recs 6210  df-irdg 6275
This theorem is referenced by:  frecrdg  6313  oa0  6361  oei0  6363
  Copyright terms: Public domain W3C validator