Theorem rdg0g 6347

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 6331	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
2	1	fveq1d 5482	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2179	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5		vex 2724	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	rdg0 6346	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
7	4, 6	vtoclg 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∅c0 3404  ‘cfv 5182  reccrdg 6328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-res 4610  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-fv 5190  df-recs 6264  df-irdg 6329

This theorem is referenced by:  frecrdg  6367  oa0  6416  oei0  6418