Theorem rdg0g 6653

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 6637	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
2	1	fveq1d 5695	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5		vex 2824	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	rdg0 6652	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
7	4, 6	vtoclg 2883	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  ‘cfv 5375  reccrdg 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-recs 6570  df-irdg 6635

This theorem is referenced by:  frecrdg  6673  oa0  6724  oei0  6726