Theorem rdg0g 6356

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 6340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
2	1	fveq1d 5488	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2180	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5		vex 2729	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	rdg0 6355	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
7	4, 6	vtoclg 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409  ‘cfv 5188  reccrdg 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-recs 6273  df-irdg 6338

This theorem is referenced by:  frecrdg  6376  oa0  6425  oei0  6427