Theorem oei0 6438

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oei0	|- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

Proof of Theorem oei0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4377	. . 3 |- (/) e. On
2		oeiv 6435	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 423	. 2 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
4		1on 6402	. . 3 |- 1o e. On
5		rdg0g 6367	. . 3 |- ( 1o e. On -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o
7	3, 6	eqtrdi 2219	1 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   |-> cmpt 4050   Oncon0 4348   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   reccrdg 6348   1oc1o 6388   .o comu 6393   ↑_o coei 6394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-oexpi 6401

This theorem is referenced by: (None)