Theorem oei0 6736

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oei0	|- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

Proof of Theorem oei0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4539	. . 3 |- (/) e. On
2		oeiv 6733	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. 2 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
4		1on 6698	. . 3 |- 1o e. On
5		rdg0g 6663	. . 3 |- ( 1o e. On -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o
7	3, 6	eqtrdi 2287	1 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   |-> cmpt 4193   Oncon0 4510   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   reccrdg 6644   1oc1o 6684   .o comu 6689   ↑_o coei 6690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-oexpi 6697

This theorem is used by: (None)