Theorem oei0 6683

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oei0	|- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

Proof of Theorem oei0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4504	. . 3 |- (/) e. On
2		oeiv 6680	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) )
4		1on 6645	. . 3 |- 1o e. On
5		rdg0g 6610	. . 3 |- ( 1o e. On -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` (/) ) = 1o
7	3, 6	eqtrdi 2281	1 |- ( A e. On -> ( A ↑o (/) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   (/)c0 3505   |-> cmpt 4164   Oncon0 4475   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   reccrdg 6591   1oc1o 6631   .o comu 6636   ↑_o coei 6637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-irdg 6592  df-1o 6638  df-oadd 6642  df-omul 6643  df-oexpi 6644

This theorem is referenced by: (None)