Theorem oa0 6512

Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oa0	|- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )

Proof of Theorem oa0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4424	. . 3 |- (/) e. On
2		oav 6509	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. On ) -> ( A +o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` (/) ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` (/) ) )
4		rdg0g 6443	. 2 |- ( A e. On -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` (/) ) = A )
5	3, 4	eqtrd 2226	1 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3447   |-> cmpt 4091   Oncon0 4395   suc csuc 4397   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   reccrdg 6424   +o coa 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475

This theorem is referenced by:  oa1suc  6522  oaword1  6526  nna0  6529  nna0r  6533  nnm0r  6534