Theorem rdgival 6077

Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgival	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgivallem 6076	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
2		fvres 5272	. . . . 5 |- ( x e. B -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) = ( rec ( F , A ) ` x ) )
3	2	fveq2d 5255	. . . 4 |- ( x e. B -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) = ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) )
4	3	iuneq2i 3722	. . 3 |- U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) )
5	4	uneq2i 3135	. 2 |- ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) )
6	1, 5	syl6eq 2131	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   _Vcvv 2612   u. cun 2982   U_ciun 3704   Oncon0 4153   |` cres 4401   Fn wfn 4962   ` cfv 4967   reccrdg 6064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-recs 6000  df-irdg 6065

This theorem is referenced by:  rdgss  6078  rdgisuc1  6079  rdgisucinc  6080  oav2  6154  omv2  6156