ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgival Unicode version

Theorem rdgival 6376
Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgival  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, V

Proof of Theorem rdgival
StepHypRef Expression
1 rdgivallem 6375 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
2 fvres 5534 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  =  ( rec ( F ,  A
) `  x )
)
32fveq2d 5514 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  x )
) )
43iuneq2i 3902 . . 3  |-  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  =  U_ x  e.  B  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `
 x ) )
54uneq2i 3286 . 2  |-  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `
 x ) ) )
61, 5eqtrdi 2226 1  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( rec ( F ,  A ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    u. cun 3127   U_ciun 3884   Oncon0 4359    |` cres 4624    Fn wfn 5206   ` cfv 5211   reccrdg 6363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-recs 6299  df-irdg 6364
This theorem is referenced by:  rdgss  6377  rdgisuc1  6378  rdgisucinc  6379  oav2  6457  omv2  6459
  Copyright terms: Public domain W3C validator