Theorem rdgival 6209

Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgival	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem rdgival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgivallem 6208	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))))
2		fvres 5377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
3	2	fveq2d 5357	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
4	3	iuneq2i 3778	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
5	4	uneq2i 3174	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
6	1, 5	syl6eq 2148	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  Vcvv 2641   ∪ cun 3019  ∪ ciun 3760  Oncon0 4223   ↾ cres 4479   Fn wfn 5054  ‘cfv 5059  reccrdg 6196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-recs 6132  df-irdg 6197

This theorem is referenced by:  rdgss  6210  rdgisuc1  6211  rdgisucinc  6212  oav2  6289  omv2  6291