ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgival GIF version

Theorem rdgival 6147
Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
rdgival ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 𝑥𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem rdgival
StepHypRef Expression
1 rdgivallem 6146 . 2 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 𝑥𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))))
2 fvres 5329 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
32fveq2d 5309 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
43iuneq2i 3748 . . 3 𝑥𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = 𝑥𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
54uneq2i 3151 . 2 (𝐴 𝑥𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))) = (𝐴 𝑥𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
61, 5syl6eq 2136 1 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴𝑉𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 𝑥𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2997   ciun 3730  Oncon0 4190  cres 4440   Fn wfn 5010  cfv 5015  reccrdg 6134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-recs 6070  df-irdg 6135
This theorem is referenced by:  rdgss  6148  rdgisuc1  6149  rdgisucinc  6150  oav2  6224  omv2  6226
  Copyright terms: Public domain W3C validator