Theorem rdgival 6272

Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgival	⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem rdgival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgivallem 6271	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))))
2		fvres 5438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
3	2	fveq2d 5418	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
4	3	iuneq2i 3826	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
5	4	uneq2i 3222	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)))
6	1, 5	syl6eq 2186	1 ⊢ ((𝐹 Fn V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (𝐴 ∪ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∪ cun 3064  ∪ ciun 3808  Oncon0 4280   ↾ cres 4536   Fn wfn 5113  ‘cfv 5118  reccrdg 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-recs 6195  df-irdg 6260

This theorem is referenced by:  rdgss  6273  rdgisuc1  6274  rdgisucinc  6275  oav2  6352  omv2  6354