Theorem omv2 6628

Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omv2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem omv2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omfnex 6612	. . . 4 |- ( A e. On -> ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V )
2		0elon 4487	. . . . 5 |- (/) e. On
3		rdgival 6543	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ (/) e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	mp3an2 1359	. . . 4 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
5	1, 4	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
6		omv 6618	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) )
7		onelon 4479	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
8		omexg 6614	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. _V )
9		omcl 6624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> A e. On )
11		oacl 6623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
13		oveq1 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A .o x ) -> ( y +o A ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
14		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) = ( y e. _V |-> ( y +o A ) )
15	13, 14	fvmptg 5718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o x ) e. _V /\ ( ( A .o x ) +o A ) e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
17		omv 6618	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) )
18	17	fveq2d 5639	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
19	16, 18	eqtr3d 2264	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
20	7, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
21	20	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
22	21	iuneq2dv 3989	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
23	22	uneq2d 3359	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
24	5, 6, 23	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) )
25		uncom 3349	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) )
26		un0 3526	. . 3 |- ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
27	25, 26	eqtri 2250	. 2 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
28	24, 27	eqtrdi 2278	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   u. cun 3196   (/)c0 3492   U_ciun 3968   |-> cmpt 4148   Oncon0 4458   Fn wfn 5319   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   reccrdg 6530   +o coa 6574   .o comu 6575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582

This theorem is referenced by:  omsuc  6635