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Theorem omv2 6291
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omv2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem omv2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omfnex 6275 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  Fn  _V )
2 0elon 4252 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
3 rdgival 6209 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  (/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
42, 3mp3an2 1271 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
51, 4sylan 279 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  (
(/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  x )
) ) )
6 omv 6281 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B ) )
7 onelon 4244 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
8 omexg 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  _V )
9 omcl 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
10 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 oacl 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
129, 10, 11syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
13 oveq1 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  .o  x )  ->  (
y  +o  A )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
14 eqid 2100 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) )
1513, 14fvmptg 5429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  _V  /\  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
168, 12, 15syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
17 omv 6281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) )
1817fveq2d 5357 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
1916, 18eqtr3d 2134 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
207, 19sylan2 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2120anassrs 395 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2221iuneq2dv 3781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2322uneq2d 3177 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
245, 6, 233eqtr4d 2142 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) ) )
25 uncom 3167 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  (
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  u.  (/) )
26 un0 3343 . . 3  |-  ( U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )  u.  (/) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2725, 26eqtri 2120 . 2  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2824, 27syl6eq 2148 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1299    e. wcel 1448   _Vcvv 2641    u. cun 3019   (/)c0 3310   U_ciun 3760    |-> cmpt 3929   Oncon0 4223    Fn wfn 5054   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   reccrdg 6196    +o coa 6240    .o comu 6241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248
This theorem is referenced by:  omsuc  6298
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