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Theorem omv2 6369
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omv2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem omv2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omfnex 6353 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  Fn  _V )
2 0elon 4322 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
3 rdgival 6287 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  (/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
42, 3mp3an2 1304 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
51, 4sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  (
(/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  x )
) ) )
6 omv 6359 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B ) )
7 onelon 4314 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
8 omexg 6355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  _V )
9 omcl 6365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
10 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 oacl 6364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
129, 10, 11syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
13 oveq1 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  .o  x )  ->  (
y  +o  A )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
14 eqid 2140 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) )
1513, 14fvmptg 5505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  _V  /\  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
168, 12, 15syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
17 omv 6359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) )
1817fveq2d 5433 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
1916, 18eqtr3d 2175 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
207, 19sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2120anassrs 398 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2221iuneq2dv 3842 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2322uneq2d 3235 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
245, 6, 233eqtr4d 2183 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) ) )
25 uncom 3225 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  (
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  u.  (/) )
26 un0 3401 . . 3  |-  ( U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )  u.  (/) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2725, 26eqtri 2161 . 2  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2824, 27eqtrdi 2189 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3074   (/)c0 3368   U_ciun 3821    |-> cmpt 3997   Oncon0 4293    Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   reccrdg 6274    +o coa 6318    .o comu 6319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326
This theorem is referenced by:  omsuc  6376
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