Theorem omv2 6728

Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omv2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem omv2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omfnex 6712	. . . 4 |- ( A e. On -> ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V )
2		0elon 4532	. . . . 5 |- (/) e. On
3		rdgival 6643	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ (/) e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	mp3an2 1366	. . . 4 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
5	1, 4	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
6		omv 6718	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) )
7		onelon 4524	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
8		omexg 6714	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. _V )
9		omcl 6724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> A e. On )
11		oacl 6723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
12	9, 10, 11	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
13		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A .o x ) -> ( y +o A ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
14		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) = ( y e. _V |-> ( y +o A ) )
15	13, 14	fvmptg 5775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o x ) e. _V /\ ( ( A .o x ) +o A ) e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
17		omv 6718	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) )
18	17	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
19	16, 18	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
20	7, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
21	20	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
22	21	iuneq2dv 4028	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
23	22	uneq2d 3383	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
24	5, 6, 23	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) )
25		uncom 3373	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) )
26		un0 3556	. . 3 |- ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
27	25, 26	eqtri 2259	. 2 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
28	24, 27	eqtrdi 2287	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   (/)c0 3520   U_ciun 4007   |-> cmpt 4187   Oncon0 4503   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   reccrdg 6630   +o coa 6674   .o comu 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682

This theorem is referenced by:  omsuc  6735