Theorem omv2 6632

Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omv2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem omv2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omfnex 6616	. . . 4 |- ( A e. On -> ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V )
2		0elon 4489	. . . . 5 |- (/) e. On
3		rdgival 6547	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ (/) e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	mp3an2 1361	. . . 4 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
5	1, 4	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
6		omv 6622	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) )
7		onelon 4481	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
8		omexg 6618	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. _V )
9		omcl 6628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> A e. On )
11		oacl 6627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
13		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A .o x ) -> ( y +o A ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
14		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) = ( y e. _V |-> ( y +o A ) )
15	13, 14	fvmptg 5722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o x ) e. _V /\ ( ( A .o x ) +o A ) e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
17		omv 6622	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) )
18	17	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
19	16, 18	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
20	7, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
21	20	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
22	21	iuneq2dv 3991	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
23	22	uneq2d 3361	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
24	5, 6, 23	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) )
25		uncom 3351	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) )
26		un0 3528	. . 3 |- ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
27	25, 26	eqtri 2252	. 2 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
28	24, 27	eqtrdi 2280	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   (/)c0 3494   U_ciun 3970   |-> cmpt 4150   Oncon0 4460   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   reccrdg 6534   +o coa 6578   .o comu 6579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586

This theorem is referenced by:  omsuc  6639