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Theorem omv2 6469
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omv2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem omv2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omfnex 6453 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  Fn  _V )
2 0elon 4394 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
3 rdgival 6386 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  (/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
42, 3mp3an2 1325 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
51, 4sylan 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  (
(/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  x )
) ) )
6 omv 6459 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B ) )
7 onelon 4386 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
8 omexg 6455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  _V )
9 omcl 6465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
10 simpl 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 oacl 6464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
13 oveq1 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  .o  x )  ->  (
y  +o  A )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
14 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) )
1513, 14fvmptg 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  _V  /\  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
168, 12, 15syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
17 omv 6459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) )
1817fveq2d 5521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
1916, 18eqtr3d 2212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
207, 19sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2120anassrs 400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2221iuneq2dv 3909 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2322uneq2d 3291 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
245, 6, 233eqtr4d 2220 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) ) )
25 uncom 3281 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  (
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  u.  (/) )
26 un0 3458 . . 3  |-  ( U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )  u.  (/) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2725, 26eqtri 2198 . 2  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2824, 27eqtrdi 2226 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2739    u. cun 3129   (/)c0 3424   U_ciun 3888    |-> cmpt 4066   Oncon0 4365    Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   reccrdg 6373    +o coa 6417    .o comu 6418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425
This theorem is referenced by:  omsuc  6476
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