Theorem omv2 6424

Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omv2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem omv2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omfnex 6408	. . . 4 |- ( A e. On -> ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V )
2		0elon 4364	. . . . 5 |- (/) e. On
3		rdgival 6341	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ (/) e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	mp3an2 1314	. . . 4 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
5	1, 4	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
6		omv 6414	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) )
7		onelon 4356	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
8		omexg 6410	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. _V )
9		omcl 6420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
10		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> A e. On )
11		oacl 6419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
12	9, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
13		oveq1 5843	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A .o x ) -> ( y +o A ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
14		eqid 2164	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) = ( y e. _V |-> ( y +o A ) )
15	13, 14	fvmptg 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o x ) e. _V /\ ( ( A .o x ) +o A ) e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
17		omv 6414	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) )
18	17	fveq2d 5484	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
19	16, 18	eqtr3d 2199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
20	7, 19	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
21	20	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
22	21	iuneq2dv 3881	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
23	22	uneq2d 3271	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
24	5, 6, 23	3eqtr4d 2207	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) )
25		uncom 3261	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) )
26		un0 3437	. . 3 |- ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
27	25, 26	eqtri 2185	. 2 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
28	24, 27	eqtrdi 2213	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   (/)c0 3404   U_ciun 3860   |-> cmpt 4037   Oncon0 4335   Fn wfn 5177   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   reccrdg 6328   +o coa 6372   .o comu 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-oadd 6379  df-omul 6380

This theorem is referenced by:  omsuc  6431