Theorem omv2 6466

Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omv2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem omv2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omfnex 6450	. . . 4 |- ( A e. On -> ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V )
2		0elon 4393	. . . . 5 |- (/) e. On
3		rdgival 6383	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ (/) e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
4	2, 3	mp3an2 1325	. . . 4 |- ( ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) Fn _V /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
5	1, 4	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
6		omv 6456	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` B ) )
7		onelon 4385	. . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
8		omexg 6452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. _V )
9		omcl 6462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
10		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> A e. On )
11		oacl 6461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) e. On )
13		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A .o x ) -> ( y +o A ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
14		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) = ( y e. _V |-> ( y +o A ) )
15	13, 14	fvmptg 5593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o x ) e. _V /\ ( ( A .o x ) +o A ) e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
17		omv 6456	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) )
18	17	fveq2d 5520	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( A .o x ) ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
19	16, 18	eqtr3d 2212	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
20	7, 19	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
21	20	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> ( ( A .o x ) +o A ) = ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
22	21	iuneq2dv 3908	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) )
23	22	uneq2d 3290	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> ( y +o A ) ) , (/) ) ` x ) ) ) )
24	5, 6, 23	3eqtr4d 2220	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) )
25		uncom 3280	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) )
26		un0 3457	. . 3 |- ( U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) u. (/) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
27	25, 26	eqtri 2198	. 2 |- ( (/) u. U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A )
28	24, 27	eqtrdi 2226	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( ( A .o x ) +o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   u. cun 3128   (/)c0 3423   U_ciun 3887   |-> cmpt 4065   Oncon0 4364   Fn wfn 5212   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   reccrdg 6370   +o coa 6414   .o comu 6415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422

This theorem is referenced by:  omsuc  6473