Theorem oav2 6572

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oav2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem oav2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6553	. . 3 |- ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V
2		rdgival 6491	. . 3 |- ( ( ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V /\ A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1337	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
4		oav 6563	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) )
5		onelon 4449	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
6		vex 2779	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
7		oaexg 6557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. _V ) -> ( A +o x ) e. _V )
8	6, 7	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( A +o x ) e. _V )
9		sucexg 4564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) e. _V -> suc ( A +o x ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> suc ( A +o x ) e. _V )
11		suceq 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A +o x ) -> suc y = suc ( A +o x ) )
12		eqid 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> suc y ) = ( y e. _V |-> suc y )
13	11, 12	fvmptg 5678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o x ) e. _V /\ suc ( A +o x ) e. _V ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
14	8, 10, 13	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
16		oav 6563	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) )
17	16	fveq2d 5603	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
18	15, 17	eqtr3d 2242	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
19	5, 18	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
20	19	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
21	20	iuneq2dv 3962	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B suc ( A +o x ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3335	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
23	3, 4, 22	3eqtr4d 2250	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   U_ciun 3941   |-> cmpt 4121   Oncon0 4428   suc csuc 4430   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   reccrdg 6478   +o coa 6522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529

This theorem is referenced by:  oasuc  6573