Theorem oav2 6407

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oav2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem oav2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6388	. . 3 |- ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V
2		rdgival 6326	. . 3 |- ( ( ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V /\ A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1306	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
4		oav 6398	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) )
5		onelon 4344	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
6		vex 2715	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
7		oaexg 6392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. _V ) -> ( A +o x ) e. _V )
8	6, 7	mpan2 422	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( A +o x ) e. _V )
9		sucexg 4456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) e. _V -> suc ( A +o x ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> suc ( A +o x ) e. _V )
11		suceq 4362	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A +o x ) -> suc y = suc ( A +o x ) )
12		eqid 2157	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> suc y ) = ( y e. _V |-> suc y )
13	11, 12	fvmptg 5543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o x ) e. _V /\ suc ( A +o x ) e. _V ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
14	8, 10, 13	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
16		oav 6398	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) )
17	16	fveq2d 5471	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
18	15, 17	eqtr3d 2192	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
19	5, 18	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
20	19	anassrs 398	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
21	20	iuneq2dv 3870	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B suc ( A +o x ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3261	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
23	3, 4, 22	3eqtr4d 2200	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   U_ciun 3849   |-> cmpt 4025   Oncon0 4323   suc csuc 4325   Fn wfn 5164   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   reccrdg 6313   +o coa 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-oadd 6364

This theorem is referenced by:  oasuc  6408