Theorem oav2 6551

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oav2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem oav2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6532	. . 3 |- ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V
2		rdgival 6470	. . 3 |- ( ( ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V /\ A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1337	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
4		oav 6542	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) )
5		onelon 4432	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
6		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
7		oaexg 6536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. _V ) -> ( A +o x ) e. _V )
8	6, 7	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( A +o x ) e. _V )
9		sucexg 4547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) e. _V -> suc ( A +o x ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> suc ( A +o x ) e. _V )
11		suceq 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A +o x ) -> suc y = suc ( A +o x ) )
12		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> suc y ) = ( y e. _V |-> suc y )
13	11, 12	fvmptg 5657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o x ) e. _V /\ suc ( A +o x ) e. _V ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
14	8, 10, 13	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
16		oav 6542	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) )
17	16	fveq2d 5582	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
18	15, 17	eqtr3d 2240	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
19	5, 18	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
20	19	anassrs 400	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
21	20	iuneq2dv 3948	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B suc ( A +o x ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3327	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
23	3, 4, 22	3eqtr4d 2248	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   U_ciun 3927   |-> cmpt 4106   Oncon0 4411   suc csuc 4413   Fn wfn 5267   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   reccrdg 6457   +o coa 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-oadd 6508

This theorem is referenced by:  oasuc  6552