Theorem oav2 6431

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 12-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oav2	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem oav2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6412	. . 3 |- ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V
2		rdgival 6350	. . 3 |- ( ( ( y e. _V |-> suc y ) Fn _V /\ A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1314	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
4		oav 6422	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` B ) )
5		onelon 4362	. . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
6		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
7		oaexg 6416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. _V ) -> ( A +o x ) e. _V )
8	6, 7	mpan2 422	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( A +o x ) e. _V )
9		sucexg 4475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) e. _V -> suc ( A +o x ) e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> suc ( A +o x ) e. _V )
11		suceq 4380	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A +o x ) -> suc y = suc ( A +o x ) )
12		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. _V |-> suc y ) = ( y e. _V |-> suc y )
13	11, 12	fvmptg 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +o x ) e. _V /\ suc ( A +o x ) e. _V ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
14	8, 10, 13	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = suc ( A +o x ) )
16		oav 6422	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A +o x ) = ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) )
17	16	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( A +o x ) ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
18	15, 17	eqtr3d 2200	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
19	5, 18	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. B ) ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
20	19	anassrs 398	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ x e. B ) -> suc ( A +o x ) = ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
21	20	iuneq2dv 3887	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> U_ x e. B suc ( A +o x ) = U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) )
22	21	uneq2d 3276	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) = ( A u. U_ x e. B ( ( y e. _V |-> suc y ) ` ( rec ( ( y e. _V |-> suc y ) , A ) ` x ) ) ) )
23	3, 4, 22	3eqtr4d 2208	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   U_ciun 3866   |-> cmpt 4043   Oncon0 4341   suc csuc 4343   Fn wfn 5183   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   reccrdg 6337   +o coa 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388

This theorem is referenced by:  oasuc  6432