Theorem restid 13332

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 4536	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	eqeltrid 2318	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3284	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 4055	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 146	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 13330	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 413	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893  (class class class)co 6017   ↾_t crest 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-rest 13323

This theorem is referenced by:  toponrestid  14744  restin  14899