Theorem restid 12170

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restid	|- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 |- X = U. J
2		uniexg 4369	. . 3 |- ( J e. V -> U. J e. _V )
3	1, 2	eqeltrid 2227	. 2 |- ( J e. V -> X e. _V )
4	1	eqimss2i 3159	. . 3 |- U. J C_ X
5		sspwuni 3905	. . 3 |- ( J C_ ~P X <-> U. J C_ X )
6	4, 5	mpbir 145	. 2 |- J C_ ~P X
7		restid2 12168	. 2 |- ( ( X e. _V /\ J C_ ~P X ) -> ( J ↾t X ) = J )
8	3, 6, 7	sylancl 410	1 |- ( J e. V -> ( J ↾t X ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744  (class class class)co 5782   ↾_t crest 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-rest 12161

This theorem is referenced by:  toponrestid  12227  restin  12384