ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restid Unicode version

Theorem restid 12140
Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restid.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restid  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )

Proof of Theorem restid
StepHypRef Expression
1 restid.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 uniexg 4361 . . 3  |-  ( J  e.  V  ->  U. J  e.  _V )
31, 2eqeltrid 2226 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  X  e.  _V )
41eqimss2i 3154 . . 3  |-  U. J  C_  X
5 sspwuni 3897 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P X  <->  U. J  C_  X )
64, 5mpbir 145 . 2  |-  J  C_  ~P X
7 restid2 12138 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  J  C_  ~P X )  ->  ( Jt  X )  =  J )
83, 6, 7sylancl 409 1  |-  ( J  e.  V  ->  ( Jt  X )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736  (class class class)co 5774   ↾t crest 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12131
This theorem is referenced by:  toponrestid  12197  restin  12354
  Copyright terms: Public domain W3C validator