Theorem restid 12503

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 4411	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2251	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3194	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 3944	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 145	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 12501	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 410	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111  𝒫 cpw 3553  ∪ cuni 3783  (class class class)co 5836   ↾_t crest 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-rest 12494

This theorem is referenced by:  toponrestid  12560  restin  12717