Theorem resttopon2 12184

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 12018	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		resttop 12176	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
3	1, 2	sylan 279	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
4		toponuni 12019	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	ineq2d 3241	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
6	5	adantr 272	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
7		eqid 2113	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	restuni2 12183	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
9	1, 8	sylan 279	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
10	6, 9	eqtrd 2145	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11		istopon 12017	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)) ↔ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
12	3, 10, 11	sylanbrc 411	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ∩ cin 3034  ∪ cuni 3700  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726   ↾_t crest 11957  Topctop 12001  TopOnctopon 12014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-rest 11959  df-topgen 11978  df-top 12002  df-topon 12015  df-bases 12047

This theorem is referenced by:  lmss  12251