ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon2 GIF version

Theorem resttopon2 13949
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem resttopon2
StepHypRef Expression
1 topontop 13785 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 resttop 13941 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
31, 2sylan 283 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
4 toponuni 13786 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54ineq2d 3348 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽))
65adantr 276 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽))
7 eqid 2187 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
87restuni2 13948 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
91, 8sylan 283 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
106, 9eqtrd 2220 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∩ 𝑋) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
11 istopon 13784 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ 𝑋)) ↔ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝑋) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)))
123, 10, 11sylanbrc 417 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ∩ 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ∩ cin 3140  βˆͺ cuni 3821  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   β†Ύt crest 12705  Topctop 13768  TopOnctopon 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814
This theorem is referenced by:  lmss  14017
  Copyright terms: Public domain W3C validator