ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon2 GIF version

Theorem resttopon2 12184
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴𝑋)))

Proof of Theorem resttopon2
StepHypRef Expression
1 topontop 12018 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2 resttop 12176 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
31, 2sylan 279 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
4 toponuni 12019 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54ineq2d 3241 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝐴 𝐽))
65adantr 272 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑋) = (𝐴 𝐽))
7 eqid 2113 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
87restuni2 12183 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐽) = (𝐽t 𝐴))
91, 8sylan 279 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 𝐽) = (𝐽t 𝐴))
106, 9eqtrd 2145 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑋) = (𝐽t 𝐴))
11 istopon 12017 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴𝑋)) ↔ ((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ (𝐴𝑋) = (𝐽t 𝐴)))
123, 10, 11sylanbrc 411 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  cin 3034   cuni 3700  cfv 5079  (class class class)co 5726  t crest 11957  Topctop 12001  TopOnctopon 12014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-rest 11959  df-topgen 11978  df-top 12002  df-topon 12015  df-bases 12047
This theorem is referenced by:  lmss  12251
  Copyright terms: Public domain W3C validator