Theorem eltx 12899

Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltx	|- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Distinct variable groups:   x, p, y, J   K, p, x, y   S, p, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, p)   W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . . 4 |- ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
2	1	txval 12895	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) )
3	2	eleq2d 2236	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) ) )
4	1	txbasex 12897	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V )
5		eltg2b 12694	. . . 4 |- ( ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
7		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
8		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
9	7, 8	xpex 4719	. . . . . 6 |- ( x X. y ) e. _V
10	9	rgen2w 2522	. . . . 5 |- A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V
11		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
12		eleq2 2230	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( p e. z <-> p e. ( x X. y ) ) )
13		sseq1 3165	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( z C_ S <-> ( x X. y ) C_ S ) )
14	12, 13	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( z = ( x X. y ) -> ( ( p e. z /\ z C_ S ) <-> ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
15	11, 14	rexrnmpo 5957	. . . . 5 |- ( A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V -> ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
16	10, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
17	16	ralbii 2472	. . 3 |- ( A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
18	6, 17	bitrdi 195	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
19	3, 18	bitrd 187	1 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   X. cxp 4602   ran crn 4605   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   topGenctg 12571   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-topgen 12577  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  txdis  12917  txdis1cn  12918