Theorem eltx 14427

Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltx	|- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Distinct variable groups:   x, p, y, J   K, p, x, y   S, p, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, p)   W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 |- ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
2	1	txval 14423	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) )
3	2	eleq2d 2263	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) ) )
4	1	txbasex 14425	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V )
5		eltg2b 14222	. . . 4 |- ( ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
7		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
8		vex 2763	. . . . . . 7 |- y e. _V
9	7, 8	xpex 4774	. . . . . 6 |- ( x X. y ) e. _V
10	9	rgen2w 2550	. . . . 5 |- A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V
11		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
12		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( p e. z <-> p e. ( x X. y ) ) )
13		sseq1 3202	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( z C_ S <-> ( x X. y ) C_ S ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( x X. y ) -> ( ( p e. z /\ z C_ S ) <-> ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
15	11, 14	rexrnmpo 6034	. . . . 5 |- ( A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V -> ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
16	10, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
17	16	ralbii 2500	. . 3 |- ( A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
18	6, 17	bitrdi 196	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
19	3, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   X. cxp 4657   ran crn 4660   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   topGenctg 12865   tX ctx 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-topgen 12871  df-tx 14421

This theorem is referenced by:  txdis  14445  txdis1cn  14446