Theorem eltx 15053

Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltx	|- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Distinct variable groups:   x, p, y, J   K, p, x, y   S, p, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, p)   W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
2	1	txval 15049	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) )
3	2	eleq2d 2301	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) ) )
4	1	txbasex 15051	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V )
5		eltg2b 14848	. . . 4 |- ( ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
7		vex 2806	. . . . . . 7 |- x e. _V
8		vex 2806	. . . . . . 7 |- y e. _V
9	7, 8	xpex 4848	. . . . . 6 |- ( x X. y ) e. _V
10	9	rgen2w 2589	. . . . 5 |- A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V
11		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
12		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( p e. z <-> p e. ( x X. y ) ) )
13		sseq1 3251	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( z C_ S <-> ( x X. y ) C_ S ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( x X. y ) -> ( ( p e. z /\ z C_ S ) <-> ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
15	11, 14	rexrnmpo 6147	. . . . 5 |- ( A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V -> ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
16	10, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
17	16	ralbii 2539	. . 3 |- ( A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
18	6, 17	bitrdi 196	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
19	3, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   X. cxp 4729   ran crn 4732   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   topGenctg 13400   tX ctx 15046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-topgen 13406  df-tx 15047

This theorem is referenced by:  txdis  15071  txdis1cn  15072