Theorem eltx 14973

Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltx	|- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Distinct variable groups:   x, p, y, J   K, p, x, y   S, p, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, p)   W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
2	1	txval 14969	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) )
3	2	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) ) )
4	1	txbasex 14971	. . . 4 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V )
5		eltg2b 14768	. . . 4 |- ( ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) ) )
7		vex 2803	. . . . . . 7 |- x e. _V
8		vex 2803	. . . . . . 7 |- y e. _V
9	7, 8	xpex 4840	. . . . . 6 |- ( x X. y ) e. _V
10	9	rgen2w 2586	. . . . 5 |- A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V
11		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) )
12		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( p e. z <-> p e. ( x X. y ) ) )
13		sseq1 3248	. . . . . . 7 |- ( z = ( x X. y ) -> ( z C_ S <-> ( x X. y ) C_ S ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = ( x X. y ) -> ( ( p e. z /\ z C_ S ) <-> ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
15	11, 14	rexrnmpo 6132	. . . . 5 |- ( A. x e. J A. y e. K ( x X. y ) e. _V -> ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
16	10, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- ( E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
17	16	ralbii 2536	. . 3 |- ( A. p e. S E. z e. ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ( p e. z /\ z C_ S ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) )
18	6, 17	bitrdi 196	. 2 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( topGen ` ran ( x e. J , y e. K |-> ( x X. y ) ) ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )
19	3, 18	bitrd 188	1 |- ( ( J e. V /\ K e. W ) -> ( S e. ( J tX K ) <-> A. p e. S E. x e. J E. y e. K ( p e. ( x X. y ) /\ ( x X. y ) C_ S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   X. cxp 4721   ran crn 4724   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   topGenctg 13327   tX ctx 14966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-topgen 13333  df-tx 14967

This theorem is referenced by:  txdis  14991  txdis1cn  14992