Theorem rspc2va 2922

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2va	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2va

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		rspc2v.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc2v 2921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))
4	3	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2802

This theorem is referenced by:  swopo  4401  ordtri2orexmid  4619  onsucelsucexmid  4626  ordsucunielexmid  4627  ordtri2or2exmid  4667  ontri2orexmidim  4668  isocnv  5947  isotr  5952  ovrspc2v  6039  off  6243  caofrss  6262  oprssdmm  6329  tridc  7082  eqsndc  7088  tpfidceq  7115  fidcenumlemrks  7143  seq3caopr2  10745  seqcaopr2g  10746  seq3distr  10784  isprm6  12709  mhmpropd  13539  grpidssd  13649  grpinvssd  13650  dfgrp3mlem  13671  isnsg3  13784  domneq0  14276  comet  15213  mulcncf  15322  trilpo  16583  neapmkv  16608