Theorem rspc2va 2807

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2va	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑) → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2va

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		rspc2v.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc2v 2806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 → 𝜓))
4	3	imp 123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691

This theorem is referenced by:  swopo  4236  ordtri2orexmid  4446  onsucelsucexmid  4453  ordsucunielexmid  4454  ordtri2or2exmid  4494  isocnv  5720  isotr  5725  off  6002  caofrss  6014  oprssdmm  6077  tridc  6801  fidcenumlemrks  6849  seq3caopr2  10286  seq3distr  10317  isprm6  11861  comet  12707  mulcncf  12799  trilpo  13411  neapmkv  13425