Theorem fidcenumlemrks 6660

Description: Lemma for fidcenum 6663. Induction step for fidcenumlemrk 6661. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidcenumlemr.dc	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
fidcenumlemr.n	|- ( ph -> N e. om )
fidcenumlemr.f	|- ( ph -> F : N -onto-> A )
fidcenumlemrks.j	|- ( ph -> J e. om )
fidcenumlemrks.jn	|- ( ph -> suc J C_ N )
fidcenumlemrks.h	|- ( ph -> ( X e. ( F " J ) \/ -. X e. ( F " J ) ) )
fidcenumlemrks.x	|- ( ph -> X e. A )

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemrks	|- ( ph -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, F   y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   F( x)   J( x)   N( x, y)

Proof of Theorem fidcenumlemrks

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( F " J ) ) -> X e. ( F " J ) )
2		elun1 3167	. . . . 5 |- ( X e. ( F " J ) -> X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( F " J ) ) -> X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
4		df-suc 4198	. . . . . . 7 |- suc J = ( J u. { J } )
5	4	imaeq2i 4772	. . . . . 6 |- ( F " suc J ) = ( F " ( J u. { J } ) )
6		imaundi 4844	. . . . . 6 |- ( F " ( J u. { J } ) ) = ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) )
7	5, 6	eqtri 2108	. . . . 5 |- ( F " suc J ) = ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) )
8	7	eleq2i 2154	. . . 4 |- ( X e. ( F " suc J ) <-> X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
9	3, 8	sylibr 132	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( F " J ) ) -> X e. ( F " suc J ) )
10	9	orcd 687	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( F " J ) ) -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )
11		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> X = ( F ` J ) )
12		fidcenumlemrks.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. A )
13		elsng 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. A -> ( X e. { ( F ` J ) } <-> X = ( F ` J ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. { ( F ` J ) } <-> X = ( F ` J ) ) )
15		fidcenumlemr.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : N -onto-> A )
16		fofn 5235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : N -onto-> A -> F Fn N )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn N )
18		fidcenumlemrks.jn	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> suc J C_ N )
19		fidcenumlemrks.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. om )
20		sucidg 4243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. om -> J e. suc J )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. suc J )
22	18, 21	sseldd 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. N )
23		fnsnfv 5363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn N /\ J e. N ) -> { ( F ` J ) } = ( F " { J } ) )
24	17, 22, 23	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { ( F ` J ) } = ( F " { J } ) )
25	24	eleq2d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X e. { ( F ` J ) } <-> X e. ( F " { J } ) ) )
26	14, 25	bitr3d 188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X = ( F ` J ) <-> X e. ( F " { J } ) ) )
27	26	ad2antrr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> ( X = ( F ` J ) <-> X e. ( F " { J } ) ) )
28	11, 27	mpbid 145	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> X e. ( F " { J } ) )
29		elun2 3168	. . . . . 6 |- ( X e. ( F " { J } ) -> X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
31	30, 8	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> X e. ( F " suc J ) )
32	31	orcd 687	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ X = ( F ` J ) ) -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )
33		simplr 497	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. X e. ( F " J ) )
34		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. X = ( F ` J ) )
35	26	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> ( X = ( F ` J ) <-> X e. ( F " { J } ) ) )
36	34, 35	mtbid 632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. X e. ( F " { J } ) )
37		ioran 704	. . . . . . 7 |- ( -. ( X e. ( F " J ) \/ X e. ( F " { J } ) ) <-> ( -. X e. ( F " J ) /\ -. X e. ( F " { J } ) ) )
38	33, 36, 37	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. ( X e. ( F " J ) \/ X e. ( F " { J } ) ) )
39		elun 3141	. . . . . 6 |- ( X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) <-> ( X e. ( F " J ) \/ X e. ( F " { J } ) ) )
40	38, 39	sylnibr 637	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. X e. ( ( F " J ) u. ( F " { J } ) ) )
41	40, 8	sylnibr 637	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> -. X e. ( F " suc J ) )
42	41	olcd 688	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) /\ -. X = ( F ` J ) ) -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )
43		fof 5233	. . . . . . . 8 |- ( F : N -onto-> A -> F : N --> A )
44	15, 43	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N --> A )
45	44, 22	ffvelrnd 5435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` J ) e. A )
46		fidcenumlemr.dc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
47		eqeq1 2094	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
48	47	dcbid 786	. . . . . . 7 |- ( x = X -> (DECID x = y <-> DECID X = y ) )
49		eqeq2 2097	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` J ) -> ( X = y <-> X = ( F ` J ) ) )
50	49	dcbid 786	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` J ) -> (DECID X = y <-> DECID X = ( F ` J ) ) )
51	48, 50	rspc2va 2735	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ ( F ` J ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A DECID x = y ) -> DECID X = ( F ` J ) )
52	12, 45, 46, 51	syl21anc 1173	. . . . 5 |- ( ph -> DECID X = ( F ` J ) )
53		exmiddc 782	. . . . 5 |- (DECID X = ( F ` J ) -> ( X = ( F ` J ) \/ -. X = ( F ` J ) ) )
54	52, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( X = ( F ` J ) \/ -. X = ( F ` J ) ) )
55	54	adantr 270	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) -> ( X = ( F ` J ) \/ -. X = ( F ` J ) ) )
56	32, 42, 55	mpjaodan 747	. 2 |- ( ( ph /\ -. X e. ( F " J ) ) -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )
57		fidcenumlemrks.h	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( F " J ) \/ -. X e. ( F " J ) ) )
58	10, 56, 57	mpjaodan 747	1 |- ( ph -> ( X e. ( F " suc J ) \/ -. X e. ( F " suc J ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   u. cun 2997   C_ wss 2999   {csn 3446   suc csuc 4192   omcom 4405   "cima 4441   Fn wfn 5010   -->wf 5011   -onto->wfo 5013   ` cfv 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fo 5021  df-fv 5023

This theorem is referenced by:  fidcenumlemrk  6661