Theorem seq3caopr2 10255

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
seqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3caopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seq3caopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seq3caopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, .+ , x, y, z   k, F, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, H, x, y, z   k, M, w, x, y, z   k, N, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   S, k, w, x, y, z   ph, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( w)   N( w)

Proof of Theorem seq3caopr2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		seqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3caopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		seq3caopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		seq3caopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		eqid 2139	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9331	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
10	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
11	5	ralrimiva 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
13		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
14	13	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
15	14	rspccva 2788	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
16	12, 15	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
17	1	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
18	7, 10, 16, 17	seqf 10234	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
19		elfzouz 9928	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
20	19	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
21	18, 20	ffvelrnd 5556	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
22		fzssuz 9845	. . . . 5 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
23		fzofzp1 10004	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
24	22, 23	sseldi 3095	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
27	26	rspccva 2788	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
28	11, 24, 27	syl2an 287	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
29	4	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
30		fveq2 5421	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
31	30	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
32	31	rspccva 2788	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
33	29, 32	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34	33	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35	7, 10, 34, 17	seqf 10234	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
36	35, 20	ffvelrnd 5556	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
37		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
39	38	rspccva 2788	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
40	29, 24, 39	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
41		seqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
42	41	anassrs 397	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
43	42	ralrimivva 2514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
44	43	ralrimivva 2514	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
45	44	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
46		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) )
47	46	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
48		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
49	48	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
50	47, 49	eqeq12d 2154	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
51	50	2ralbidv 2459	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
52		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
53	52	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
54		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
55	54	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
56	53, 55	eqeq12d 2154	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
57	56	2ralbidv 2459	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
58	51, 57	rspc2va 2803	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
59	36, 40, 45, 58	syl21anc 1215	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
60		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
61	60	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
62		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) )
63	62	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2154	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) ) )
65		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
66	65	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
67		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
68	67	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69	66, 68	eqeq12d 2154	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
70	64, 69	rspc2va 2803	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	21, 28, 59, 70	syl21anc 1215	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 71	seq3caopr3 10254	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  seq3caopr  10256  ser3sub  10279