Theorem seq3caopr2 10855

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3caopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3caopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seq3caopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
seq3caopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3caopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seq3caopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seq3caopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, .+ , x, y, z   k, F, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, H, x, y, z   k, M, w, x, y, z   k, N, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   S, k, w, x, y, z   ph, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( w)   N( w)

Proof of Theorem seq3caopr2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3caopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3caopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		seq3caopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3caopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		seq3caopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		seq3caopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		eqid 2232	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9858	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	3, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
11	5	ralrimiva 2615	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
13		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
14	13	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
15	14	rspccva 2920	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
16	12, 15	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
17	1	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
18	7, 10, 16, 17	seqf 10826	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
19		elfzouz 10485	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
21	18, 20	ffvelcdmd 5813	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S )
22		fzssuz 10399	. . . . 5 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
23		fzofzp1 10572	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
24	22, 23	sselid 3236	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
26	25	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
27	26	rspccva 2920	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
28	11, 24, 27	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
29	4	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
30		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
31	30	eleq1d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
32	31	rspccva 2920	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
33	29, 32	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34	33	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35	7, 10, 34, 17	seqf 10826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
36	35, 20	ffvelcdmd 5813	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
37		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2301	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
39	38	rspccva 2920	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
40	29, 24, 39	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
41		seq3caopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
42	41	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
43	42	ralrimivva 2624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
44	43	ralrimivva 2624	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
45	44	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
46		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) )
47	46	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
48		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
49	48	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
50	47, 49	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
51	50	2ralbidv 2566	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
52		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
53	52	oveq2d 6066	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
54		oveq2 6058	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
55	54	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
56	53, 55	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
57	56	2ralbidv 2566	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
58	51, 57	rspc2va 2935	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
59	36, 40, 45, 58	syl21anc 1273	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
60		oveq2 6058	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
61	60	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
62		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) )
63	62	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) ) )
65		oveq2 6058	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
66	65	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
67		oveq2 6058	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
68	67	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69	66, 68	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
70	64, 69	rspc2va 2935	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	21, 28, 59, 70	syl21anc 1273	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 71	seq3caopr3 10853	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1c1 8128   + caddc 8130   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342  ..^cfzo 10476   seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by:  seq3caopr  10857  ser3sub  10885