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Theorem mhmpropd 13098
Description: Monoid homomorphism depends only on the monoidal attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmpropd.a |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
mhmpropd.b |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
mhmpropd.c |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mhmpropd.d |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
mhmpropd.e |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
mhmpropd.f |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mhmpropd |- ( ph -> ( J MndHom K ) = ( L MndHom M ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, C, y   x, J, y   x, L, y   ph, x, y   x, K, y   x, M, y
Proof of Theorem mhmpropd
Dummy variables w z f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21fveq2d 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
32adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
4 ffvelcdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : B --> C /\ x e. B ) -> ( f ` x ) e. C )
5 ffvelcdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : B --> C /\ y e. B ) -> ( f ` y ) e. C )
64, 5anim12dan 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) )
7 mhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
87ralrimivva 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
9 oveq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) y ) )
10 oveq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) ) )
12 oveq2 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) z ) )
13 oveq2 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( w ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) )
1511, 14cbvral2vw 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
168, 15sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
17 oveq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) )
18 oveq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` x ) -> ( ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) ) )
20 oveq2 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) )
21 oveq2 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 2882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) /\ A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2524anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
263, 25eqeq12d 2211 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
27262ralbidva 2519 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2827adantrl 478 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
29 mhmpropd.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
30 raleq 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3130raleqbi1dv 2705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3332adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
34 mhmpropd.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
35 raleq 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3635raleqbi1dv 2705 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3734, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
4029adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> B = ( Base ` J ) )
4134adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> B = ( Base ` L ) )
42 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> J e. Mnd )
4329, 34, 1mndpropd 13081 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( J e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
4542, 44mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> L e. Mnd )
461adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4740, 41, 42, 45, 46grpidpropdg 13017 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( 0g ` J ) = ( 0g ` L ) )
4847fveq2d 5562 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( f ` ( 0g ` L ) ) )
49 mhmpropd.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> C = ( Base ` K ) )
51 mhmpropd.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> C = ( Base ` M ) )
53 simprlr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> K e. Mnd )
5449, 51, 7mndpropd 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> M e. Mnd ) )
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( K e. Mnd <-> M e. Mnd ) )
5653, 55mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> M e. Mnd )
577adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
5850, 52, 53, 56, 57grpidpropdg 13017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` M ) )
5948, 58eqeq12d 2211 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) <-> ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) )
6039, 59anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
6160anassrs 400 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) /\ f : B --> C ) -> ( ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
6261pm5.32da 452 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
6329, 49feq23d 5403 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
6564anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) ) )
6634, 51feq23d 5403 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
6766adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
6867anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
6962, 65, 683bitr3d 218 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
70 3anass 984 . . . . . 6 |- ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) )
71 3anass 984 . . . . . 6 |- ( ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
7269, 70, 713bitr4g 223 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
7372pm5.32da 452 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
7443, 54anbi12d 473 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) <-> ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) ) )
7574anbi1d 465 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
7673, 75bitrd 188 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
77 eqid 2196 . . . 4 |- ( Base ` J ) = ( Base ` J )
78 eqid 2196 . . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
79 eqid 2196 . . . 4 |- ( +g ` J ) = ( +g ` J )
80 eqid 2196 . . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
81 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` J ) = ( 0g ` J )
82 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
8377, 78, 79, 80, 81, 82ismhm 13093 . . 3 |- ( f e. ( J MndHom K ) <-> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) )
84 eqid 2196 . . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
85 eqid 2196 . . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
86 eqid 2196 . . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
87 eqid 2196 . . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
88 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
89 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
9084, 85, 86, 87, 88, 89ismhm 13093 . . 3 |- ( f e. ( L MndHom M ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
9176, 83, 903bitr4g 223 . 2 |- ( ph -> ( f e. ( J MndHom K ) <-> f e. ( L MndHom M ) ) )
9291eqrdv 2194 1 |- ( ph -> ( J MndHom K ) = ( L MndHom M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   MndHom cmhm 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091
This theorem is referenced by:  ghmpropd  13413  rhmpropd  13810
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