ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhmpropd Unicode version

Theorem mhmpropd 13038
Description: Monoid homomorphism depends only on the monoidal attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmpropd.a  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
mhmpropd.b  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
mhmpropd.c  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mhmpropd.d  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
mhmpropd.e  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
mhmpropd.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mhmpropd  |-  ( ph  ->  ( J MndHom  K )  =  ( L MndHom  M
) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, C, y    x, J, y    x, L, y    ph, x, y    x, K, y    x, M, y

Proof of Theorem mhmpropd
Dummy variables  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21fveq2d 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
32adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) ) )
4 ffvelcdm 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : B --> C  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  x
)  e.  C )
5 ffvelcdm 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : B --> C  /\  y  e.  B )  ->  ( f `  y
)  e.  C )
64, 5anim12dan 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : B --> C  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C ) )
7 mhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
87ralrimivva 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
9 oveq1 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) y ) )
10 oveq1 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M
) y ) ) )
12 oveq2 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  K
) y )  =  ( w ( +g  `  K ) z ) )
13 oveq2 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  (
w ( +g  `  M
) y )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( w ( +g  `  K ) y )  =  ( w ( +g  `  M ) y )  <->  ( w
( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) ) )
1511, 14cbvral2vw 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  C  A. y  e.  C  (
x ( +g  `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )  <->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
168, 15sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z ) )
17 oveq1 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z ) )
18 oveq1 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) z ) ) )
20 oveq2 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) )
21 oveq2 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  M
) z )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
( ( f `  x ) ( +g  `  K ) z )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) z )  <->  ( (
f `  x )
( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f `  x )  e.  C  /\  ( f `  y
)  e.  C )  /\  A. w  e.  C  A. z  e.  C  ( w ( +g  `  K ) z )  =  ( w ( +g  `  M
) z ) )  ->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  =  ( ( f `  x
) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : B --> C  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
2524anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) )
263, 25eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f : B --> C )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
27262ralbidva 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f : B
--> C )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
2827adantrl 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
29 mhmpropd.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  J ) )
30 raleq 2690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `  ( x ( +g  `  J
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  K ) ( f `  y
) ) ) )
3130raleqbi1dv 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  ( Base `  J
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) ) ) )
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
3332adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) ) ) )
34 mhmpropd.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
35 raleq 2690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `  ( x ( +g  `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  M ) ( f `  y
) ) ) )
3635raleqbi1dv 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) ) ) )
3734, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) ) ) )
4029adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  B  =  (
Base `  J )
)
4134adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  B  =  (
Base `  L )
)
42 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  J  e.  Mnd )
4329, 34, 1mndpropd 13021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( J  e. 
Mnd 
<->  L  e.  Mnd )
)
4542, 44mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  L  e.  Mnd )
461adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  J ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4740, 41, 42, 45, 46grpidpropdg 12957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( 0g `  J )  =  ( 0g `  L ) )
4847fveq2d 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( f `
 ( 0g `  L ) ) )
49 mhmpropd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  K ) )
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  C  =  (
Base `  K )
)
51 mhmpropd.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  =  ( Base `  M ) )
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  C  =  (
Base `  M )
)
53 simprlr 538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  K  e.  Mnd )
5449, 51, 7mndpropd 13021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  M  e.  Mnd ) )
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( K  e. 
Mnd 
<->  M  e.  Mnd )
)
5653, 55mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  M  e.  Mnd )
577adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
5850, 52, 53, 56, 57grpidpropdg 12957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  M ) )
5948, 58eqeq12d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( ( f `
 ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K
)  <->  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )
6039, 59anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  f : B --> C ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
6160anassrs 400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd ) )  /\  f : B --> C )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
6261pm5.32da 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g
`  K ) ) )  <->  ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) ) ) )
6329, 49feq23d 5399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K ) ) )
6564anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J ) ( f `
 ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g
`  K ) ) )  <->  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) ) )
6634, 51feq23d 5399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M ) ) )
6766adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( f : B --> C 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M ) ) )
6867anbi1d 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : B --> C  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L ) ( f `
 ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g
`  M ) ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
6962, 65, 683bitr3d 218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
70 3anass 984 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) )
71 3anass 984 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
7269, 70, 713bitr4g 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Mnd  /\  K  e. 
Mnd ) )  -> 
( ( f : ( Base `  J
) --> ( Base `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  J
) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) )  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( Base `  M
)  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
7372pm5.32da 452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( ( J  e. 
Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
7443, 54anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  e. 
Mnd  /\  K  e.  Mnd )  <->  ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd ) ) )
7574anbi1d 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) )  <-> 
( ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
7673, 75bitrd 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) )  <-> 
( ( L  e. 
Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) ) )
77 eqid 2193 . . . 4  |-  ( Base `  J )  =  (
Base `  J )
78 eqid 2193 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
79 eqid 2193 . . . 4  |-  ( +g  `  J )  =  ( +g  `  J )
80 eqid 2193 . . . 4  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
81 eqid 2193 . . . 4  |-  ( 0g
`  J )  =  ( 0g `  J
)
82 eqid 2193 . . . 4  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
8377, 78, 79, 80, 81, 82ismhm 13033 . . 3  |-  ( f  e.  ( J MndHom  K
)  <->  ( ( J  e.  Mnd  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  J ) --> ( Base `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  J ) A. y  e.  ( Base `  J
) ( f `  ( x ( +g  `  J ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  K
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  J ) )  =  ( 0g `  K ) ) ) )
84 eqid 2193 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
85 eqid 2193 . . . 4  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
86 eqid 2193 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
87 eqid 2193 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
88 eqid 2193 . . . 4  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
89 eqid 2193 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
9084, 85, 86, 87, 88, 89ismhm 13033 . . 3  |-  ( f  e.  ( L MndHom  M
)  <->  ( ( L  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
f : ( Base `  L ) --> ( Base `  M )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) A. y  e.  ( Base `  L
) ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  M
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  L ) )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
9176, 83, 903bitr4g 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( J MndHom  K )  <->  f  e.  ( L MndHom  M ) ) )
9291eqrdv 2191 1  |-  ( ph  ->  ( J MndHom  K )  =  ( L MndHom  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   Mndcmnd 12997   MndHom cmhm 13029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031
This theorem is referenced by:  ghmpropd  13353  rhmpropd  13750
  Copyright terms: Public domain W3C validator