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Theorem mhmpropd 12942
Description: Monoid homomorphism depends only on the monoidal attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmpropd.a |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
mhmpropd.b |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
mhmpropd.c |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mhmpropd.d |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
mhmpropd.e |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
mhmpropd.f |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mhmpropd |- ( ph -> ( J MndHom K ) = ( L MndHom M ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, C, y   x, J, y   x, L, y   ph, x, y   x, K, y   x, M, y
Proof of Theorem mhmpropd
Dummy variables w z f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmpropd.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21fveq2d 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
32adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) )
4 ffvelcdm 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : B --> C /\ x e. B ) -> ( f ` x ) e. C )
5 ffvelcdm 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : B --> C /\ y e. B ) -> ( f ` y ) e. C )
64, 5anim12dan 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) )
7 mhmpropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
87ralrimivva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
9 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) y ) )
10 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = w -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) )
119, 10eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = w -> ( ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) ) )
12 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` K ) z ) )
13 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( w ( +g ` M ) y ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
1412, 13eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( w ( +g ` K ) y ) = ( w ( +g ` M ) y ) <-> ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) )
1511, 14cbvral2vw 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. C A. y e. C ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) <-> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
168, 15sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) )
17 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) )
18 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) )
1917, 18eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( f ` x ) -> ( ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) ) )
20 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) )
21 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2220, 21eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( f ` y ) -> ( ( ( f ` x ) ( +g ` K ) z ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) z ) <-> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2319, 22rspc2va 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f ` x ) e. C /\ ( f ` y ) e. C ) /\ A. w e. C A. z e. C ( w ( +g ` K ) z ) = ( w ( +g ` M ) z ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
246, 16, 23syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f : B --> C /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
2524anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) )
263, 25eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f : B --> C ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
27262ralbidva 2512 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f : B --> C ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
2827adantrl 478 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
29 mhmpropd.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( Base ` J ) )
30 raleq 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3130raleqbi1dv 2694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = ( Base ` J ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3229, 31syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
3332adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) ) )
34 mhmpropd.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
35 raleq 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3635raleqbi1dv 2694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = ( Base ` L ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3734, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
3928, 33, 383bitr3d 218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) ) )
4029adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> B = ( Base ` J ) )
4134adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> B = ( Base ` L ) )
42 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> J e. Mnd )
4329, 34, 1mndpropd 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( J e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
4542, 44mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> L e. Mnd )
461adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` J ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
4740, 41, 42, 45, 46grpidpropdg 12862 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( 0g ` J ) = ( 0g ` L ) )
4847fveq2d 5541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( f ` ( 0g ` L ) ) )
49 mhmpropd.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( Base ` K ) )
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> C = ( Base ` K ) )
51 mhmpropd.d . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C = ( Base ` M ) )
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> C = ( Base ` M ) )
53 simprlr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> K e. Mnd )
5449, 51, 7mndpropd 12925 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> M e. Mnd ) )
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( K e. Mnd <-> M e. Mnd ) )
5653, 55mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> M e. Mnd )
577adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
5850, 52, 53, 56, 57grpidpropdg 12862 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( 0g ` K ) = ( 0g ` M ) )
5948, 58eqeq12d 2204 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) <-> ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) )
6039, 59anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ f : B --> C ) ) -> ( ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
6160anassrs 400 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) /\ f : B --> C ) -> ( ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
6261pm5.32da 452 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
6329, 49feq23d 5383 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) ) )
6564anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) ) )
6634, 51feq23d 5383 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
6766adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( f : B --> C <-> f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) ) )
6867anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : B --> C /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
6962, 65, 683bitr3d 218 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
70 3anass 984 . . . . . 6 |- ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ ( A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) )
71 3anass 984 . . . . . 6 |- ( ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ ( A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
7269, 70, 713bitr4g 223 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) ) -> ( ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) <-> ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
7372pm5.32da 452 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
7443, 54anbi12d 473 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) <-> ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) ) )
7574anbi1d 465 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
7673, 75bitrd 188 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) ) )
77 eqid 2189 . . . 4 |- ( Base ` J ) = ( Base ` J )
78 eqid 2189 . . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
79 eqid 2189 . . . 4 |- ( +g ` J ) = ( +g ` J )
80 eqid 2189 . . . 4 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
81 eqid 2189 . . . 4 |- ( 0g ` J ) = ( 0g ` J )
82 eqid 2189 . . . 4 |- ( 0g ` K ) = ( 0g ` K )
8377, 78, 79, 80, 81, 82ismhm 12937 . . 3 |- ( f e. ( J MndHom K ) <-> ( ( J e. Mnd /\ K e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` J ) --> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` J ) A. y e. ( Base ` J ) ( f ` ( x ( +g ` J ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` K ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` J ) ) = ( 0g ` K ) ) ) )
84 eqid 2189 . . . 4 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
85 eqid 2189 . . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
86 eqid 2189 . . . 4 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
87 eqid 2189 . . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
88 eqid 2189 . . . 4 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
89 eqid 2189 . . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
9084, 85, 86, 87, 88, 89ismhm 12937 . . 3 |- ( f e. ( L MndHom M ) <-> ( ( L e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` L ) --> ( Base ` M ) /\ A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( f ` ( x ( +g ` L ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` M ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` L ) ) = ( 0g ` M ) ) ) )
9176, 83, 903bitr4g 223 . 2 |- ( ph -> ( f e. ( J MndHom K ) <-> f e. ( L MndHom M ) ) )
9291eqrdv 2187 1 |- ( ph -> ( J MndHom K ) = ( L MndHom M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   -->wf 5234   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12524   +g cplusg 12601   0gc0g 12773   Mndcmnd 12901   MndHom cmhm 12933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-inn 8956  df-2 9014  df-ndx 12527  df-slot 12528  df-base 12530  df-plusg 12614  df-0g 12775  df-mgm 12844  df-sgrp 12889  df-mnd 12902  df-mhm 12935
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