Theorem dfgrp3mlem 13230

Description: Lemma for dfgrp3m 13231. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp3.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp3.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp3mlem	|- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )

Distinct variable groups:   B, a, i, l, r, u, w, x, y   G, a, i, l, r, u, w, x, y   .+ , a, i, l, r, u, w, x, y

Proof of Theorem dfgrp3mlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. . 3 |- F/ w G e. Smgrp
2		nfe1 1510	. . 3 |- F/ w E. w w e. B
3		nfv 1542	. . 3 |- F/ w A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y )
4	1, 2, 3	nf3an 1580	. 2 |- F/ w ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) )
5		nfv 1542	. 2 |- F/ w E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u )
6		simp2 1000	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. w w e. B )
7		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( l .+ x ) = ( l .+ w ) )
8	7	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( l .+ w ) = y ) )
9	8	rexbidv 2498	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = y ) )
10		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( x .+ r ) = ( w .+ r ) )
11	10	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = y ) )
12	11	rexbidv 2498	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( E. r e. B ( x .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = y ) )
13	9, 12	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
14	13	ralbidv 2497	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
15	14	rspcv 2864	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) )
16		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( l .+ w ) = y <-> ( l .+ w ) = w ) )
17	16	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = w ) )
18		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( w .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = w ) )
19	18	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = w ) )
20	17, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) ) )
21	20	rspcva 2866	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. B /\ A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) )
22		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = u -> ( l .+ w ) = ( u .+ w ) )
23	22	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = u -> ( ( l .+ w ) = w <-> ( u .+ w ) = w ) )
24	23	cbvrexvw 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( E. l e. B ( l .+ w ) = w <-> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
25	24	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( E. l e. B ( l .+ w ) = w -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
26	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = w /\ E. r e. B ( w .+ r ) = w ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
27	21, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( w e. B /\ A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
28	27	ex 115	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
29	15, 28	syldc 46	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( w e. B -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
30	29	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( w e. B -> E. u e. B ( u .+ w ) = w ) )
31	30	imp 124	. . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> E. u e. B ( u .+ w ) = w )
32		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> ( ( l .+ w ) = y <-> ( l .+ w ) = a ) )
33	32	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = y <-> E. l e. B ( l .+ w ) = a ) )
34		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> ( ( w .+ r ) = y <-> ( w .+ r ) = a ) )
35	34	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = y <-> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
36	33, 35	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( ( E. l e. B ( l .+ w ) = y /\ E. r e. B ( w .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ w ) = a /\ E. r e. B ( w .+ r ) = a ) ) )
37	13, 36	rspc2va 2882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. B /\ a e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ w ) = a /\ E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
38	37	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w e. B /\ a e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
39	38	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( w e. B /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
40	39	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( w e. B /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a ) )
41	40	impl 380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ a e. B ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
42	41	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> E. r e. B ( w .+ r ) = a )
43		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = z -> ( w .+ r ) = ( w .+ z ) )
44	43	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = z -> ( ( w .+ r ) = a <-> ( w .+ z ) = a ) )
45	44	cbvrexvw 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. B ( w .+ r ) = a <-> E. z e. B ( w .+ z ) = a )
46		simpll1 1038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) -> G e. Smgrp )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> G e. Smgrp )
48		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> u e. B )
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> w e. B )
50		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> z e. B )
51		dfgrp3.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` G )
52		dfgrp3.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .+ = ( +g ` G )
53	51, 52	sgrpass 13051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( u e. B /\ w e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( u .+ ( w .+ z ) ) )
54	47, 48, 49, 50, 53	syl13anc 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( u .+ ( w .+ z ) ) )
55		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( u .+ w ) = w )
56	55	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( ( u .+ w ) .+ z ) = ( w .+ z ) )
57	54, 56	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( ( u .+ w ) = w /\ z e. B ) ) -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) )
58	57	anassrs 400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) /\ z e. B ) -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) )
59		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( u .+ a ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( w .+ z ) = a )
61	59, 60	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w .+ z ) = a -> ( ( u .+ ( w .+ z ) ) = ( w .+ z ) <-> ( u .+ a ) = a ) )
62	58, 61	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) /\ z e. B ) -> ( ( w .+ z ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
63	62	rexlimdva 2614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) -> ( E. z e. B ( w .+ z ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
64	45, 63	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( u .+ w ) = w ) -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
65	64	adantrl 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( E. r e. B ( w .+ r ) = a -> ( u .+ a ) = a ) )
66	42, 65	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( u .+ a ) = a )
67		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( l .+ x ) = ( l .+ a ) )
68	67	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( ( l .+ x ) = y <-> ( l .+ a ) = y ) )
69	68	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( E. l e. B ( l .+ x ) = y <-> E. l e. B ( l .+ a ) = y ) )
70		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( x .+ r ) = ( a .+ r ) )
71	70	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( ( x .+ r ) = y <-> ( a .+ r ) = y ) )
72	71	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( E. r e. B ( x .+ r ) = y <-> E. r e. B ( a .+ r ) = y ) )
73	69, 72	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ a ) = y /\ E. r e. B ( a .+ r ) = y ) ) )
74		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = u -> ( ( l .+ a ) = y <-> ( l .+ a ) = u ) )
75	74	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( E. l e. B ( l .+ a ) = y <-> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
76		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = u -> ( ( a .+ r ) = y <-> ( a .+ r ) = u ) )
77	76	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = u -> ( E. r e. B ( a .+ r ) = y <-> E. r e. B ( a .+ r ) = u ) )
78	75, 77	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( ( E. l e. B ( l .+ a ) = y /\ E. r e. B ( a .+ r ) = y ) <-> ( E. l e. B ( l .+ a ) = u /\ E. r e. B ( a .+ r ) = u ) ) )
79	73, 78	rspc2va 2882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. B /\ u e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( E. l e. B ( l .+ a ) = u /\ E. r e. B ( a .+ r ) = u ) )
80	79	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. B /\ u e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u )
81	80	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. B /\ u e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
82	81	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. B /\ a e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
83	82	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) -> ( ( u e. B /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
84	83	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> ( ( u e. B /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u ) )
85	84	impl 380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. l e. B ( l .+ a ) = u )
86		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = i -> ( l .+ a ) = ( i .+ a ) )
87	86	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = i -> ( ( l .+ a ) = u <-> ( i .+ a ) = u ) )
88	87	cbvrexvw 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( E. l e. B ( l .+ a ) = u <-> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
89	85, 88	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
90	89	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
91	90	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> E. i e. B ( i .+ a ) = u )
92	66, 91	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ ( a e. B /\ ( u .+ w ) = w ) ) -> ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
93	92	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) /\ a e. B ) -> ( ( u .+ w ) = w -> ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
94	93	ralrimdva 2577	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( u .+ w ) = w -> A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
95	94	reximdva 2599	. . 3 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> ( E. u e. B ( u .+ w ) = w -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) ) )
96	31, 95	mpd 13	. 2 |- ( ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) /\ w e. B ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )
97	4, 5, 6, 96	exlimdd 1886	1 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. w w e. B /\ A. x e. B A. y e. B ( E. l e. B ( l .+ x ) = y /\ E. r e. B ( x .+ r ) = y ) ) -> E. u e. B A. a e. B ( ( u .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Smgrpcsgrp 13044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-sgrp 13045

This theorem is referenced by:  dfgrp3m  13231