Theorem neapmkv 16436

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables f i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6817	. . . . . 6 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
3		oveq2 6009	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
4	3	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
5		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( f ` i ) = ( f ` j ) )
6	4, 5	oveq12d 6019	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) ) )
7	6	cbvsumv 11872	. . . . 5 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) )
8	2, 7	trilpolemcl 16405	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR )
9		1red 8161	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> 1 e. RR )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )
11		neeq1 2413	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y ) )
12		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( ( x =/= y -> x # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) ) )
14		neeq2 2414	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) )
15		breq2 4087	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) ) )
17	13, 16	rspc2va 2921	. . . . . . 7 |- ( ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1270	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
19	18	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 )
20	2, 7, 19	neapmkvlem 16435	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
21	20	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
22		nnex 9116	. . . 4 |- NN e. _V
23		ismkvnn 16421	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
25	21, 24	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> NN e. Markov )
26		nnenom 10656	. . 3 |- NN ~~ om
27		enmkv 7329	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Markov <-> om e. Markov ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. Markov <-> om e. Markov )
29	25, 28	sylib 122	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   {cpr 3667   class class class wbr 4083   omcom 4682   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   ~~ cen 6885  Markovcmarkov 7318   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ^cexp 10760   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-omni 7302  df-markov 7319  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-ico 10090  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by: (None)