Theorem neapmkv 13946

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables f i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6636	. . . . . 6 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
3		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
4	3	oveq2d 5858	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
5		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( f ` i ) = ( f ` j ) )
6	4, 5	oveq12d 5860	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) ) )
7	6	cbvsumv 11302	. . . . 5 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) )
8	2, 7	trilpolemcl 13916	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR )
9		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> 1 e. RR )
10		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )
11		neeq1 2349	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y ) )
12		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) )
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( ( x =/= y -> x # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) ) )
14		neeq2 2350	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) )
15		breq2 3986	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) ) )
17	13, 16	rspc2va 2844	. . . . . . 7 |- ( ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
19	18	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 )
20	2, 7, 19	neapmkvlem 13945	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
21	20	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
22		nnex 8863	. . . 4 |- NN e. _V
23		ismkvnn 13932	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
25	21, 24	sylibr 133	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> NN e. Markov )
26		nnenom 10369	. . 3 |- NN ~~ om
27		enmkv 7126	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Markov <-> om e. Markov ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. Markov <-> om e. Markov )
29	25, 28	sylib 121	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   {cpr 3577   class class class wbr 3982   omcom 4567   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614   ~~ cen 6704  Markovcmarkov 7115   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ^cexp 10454   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-omni 7099  df-markov 7116  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by: (None)