Theorem neapmkv 13600

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables f i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6608	. . . . . 6 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
3		oveq2 5826	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
4	3	oveq2d 5834	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
5		fveq2 5465	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( f ` i ) = ( f ` j ) )
6	4, 5	oveq12d 5836	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) ) )
7	6	cbvsumv 11240	. . . . 5 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) )
8	2, 7	trilpolemcl 13570	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR )
9		1red 7876	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> 1 e. RR )
10		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )
11		neeq1 2340	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y ) )
12		breq1 3968	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) )
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( ( x =/= y -> x # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) ) )
14		neeq2 2341	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) )
15		breq2 3969	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) ) )
17	13, 16	rspc2va 2830	. . . . . . 7 |- ( ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
19	18	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 )
20	2, 7, 19	neapmkvlem 13599	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
21	20	ralrimiva 2530	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
22		nnex 8822	. . . 4 |- NN e. _V
23		ismkvnn 13586	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
25	21, 24	sylibr 133	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> NN e. Markov )
26		nnenom 10315	. . 3 |- NN ~~ om
27		enmkv 7088	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Markov <-> om e. Markov ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. Markov <-> om e. Markov )
29	25, 28	sylib 121	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   {cpr 3561   class class class wbr 3965   omcom 4547   -->wf 5163   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   ^m cmap 6586   ~~ cen 6676  Markovcmarkov 7077   RRcr 7714   0cc0 7715   1c1 7716   x. cmul 7720   # cap 8439   / cdiv 8528   NNcn 8816   2c2 8867   ^cexp 10400   sum_csu 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-omni 7061  df-markov 7078  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233

This theorem is referenced by: (None)