Theorem neapmkv 17325

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables f i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6948	. . . . . 6 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
3		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
4	3	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
5		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( f ` i ) = ( f ` j ) )
6	4, 5	oveq12d 6106	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) ) )
7	6	cbvsumv 12152	. . . . 5 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) )
8	2, 7	trilpolemcl 17293	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR )
9		1red 8347	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> 1 e. RR )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )
11		neeq1 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y ) )
12		breq1 4134	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( ( x =/= y -> x # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) ) )
14		neeq2 2434	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) )
15		breq2 4135	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) ) )
17	13, 16	rspc2va 2944	. . . . . . 7 |- ( ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
19	18	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 )
20	2, 7, 19	neapmkvlem 17324	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
21	20	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
22		nnex 9319	. . . 4 |- NN e. _V
23		ismkvnn 17310	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
25	21, 24	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> NN e. Markov )
26		nnenom 10892	. . 3 |- NN ~~ om
27		enmkv 7508	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Markov <-> om e. Markov ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. Markov <-> om e. Markov )
29	25, 28	sylib 122	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   {cpr 3710   class class class wbr 4131   omcom 4739   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   ~~ cen 7024  Markovcmarkov 7497   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   ^cexp 10996   sum_csu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-omni 7481  df-markov 7498  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by: (None)