Theorem neapmkv 16980

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	|- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables f i j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6917	. . . . . 6 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> f : NN --> { 0 , 1 } )
3		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
4	3	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
5		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( f ` i ) = ( f ` j ) )
6	4, 5	oveq12d 6076	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) ) )
7	6	cbvsumv 12071	. . . . 5 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( f ` j ) )
8	2, 7	trilpolemcl 16947	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR )
9		1red 8305	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> 1 e. RR )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) )
11		neeq1 2427	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y ) )
12		breq1 4117	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( x # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) -> ( ( x =/= y -> x # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) ) )
14		neeq2 2428	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) )
15		breq2 4118	. . . . . . . . 9 |- ( y = 1 -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y <-> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = 1 -> ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= y -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # y ) <-> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) ) )
17	13, 16	rspc2va 2938	. . . . . . 7 |- ( ( ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 ) )
19	18	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) =/= 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( f ` i ) ) # 1 )
20	2, 7, 19	neapmkvlem 16979	. . . 4 |- ( ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
21	20	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
22		nnex 9260	. . . 4 |- NN e. _V
23		ismkvnn 16964	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. Markov <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ( -. A. z e. NN ( f ` z ) = 1 -> E. z e. NN ( f ` z ) = 0 ) )
25	21, 24	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> NN e. Markov )
26		nnenom 10820	. . 3 |- NN ~~ om
27		enmkv 7466	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Markov <-> om e. Markov ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. Markov <-> om e. Markov )
29	25, 28	sylib 122	1 |- ( A. x e. RR A. y e. RR ( x =/= y -> x # y ) -> om e. Markov )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   {cpr 3695   class class class wbr 4114   omcom 4717   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986  Markovcmarkov 7455   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ^cexp 10924   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-omni 7439  df-markov 7456  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by: (None)