Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neapmkv Unicode version

Theorem neapmkv 14956
Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
neapmkv  |-  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
)  ->  om  e. Markov )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem neapmkv
Dummy variables  f  i  j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6673 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN )  ->  f : NN --> { 0 ,  1 } )
21adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> { 0 ,  1 } )
3 oveq2 5886 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ j ) )
43oveq2d 5894 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ j
) ) )
5 fveq2 5517 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
f `  i )  =  ( f `  j ) )
64, 5oveq12d 5896 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ j ) )  x.  ( f `  j
) ) )
76cbvsumv 11372 . . . . 5  |-  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) )  =  sum_ j  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ j ) )  x.  ( f `
 j ) )
82, 7trilpolemcl 14925 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) )  e.  RR )
9 1red 7975 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  1  e.  RR )
10 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
) )
11 neeq1 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  ->  ( x  =/=  y  <->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  =/=  y ) )
12 breq1 4008 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  ->  ( x #  y 
<-> 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
) #  y ) )
1311, 12imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  ->  ( (
x  =/=  y  ->  x #  y )  <->  ( sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) )  =/=  y  ->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) ) #  y ) ) )
14 neeq2 2361 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  ( sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) )  =/=  y  <->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) )  =/=  1
) )
15 breq2 4009 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  ( sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) ) #  y  <->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
) #  1 ) )
1614, 15imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
( sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  =/=  y  ->  sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) ) #  y )  <->  ( sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) )  =/=  1  ->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) ) #  1 ) ) )
1713, 16rspc2va 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y ) )  -> 
( sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  (
f `  i )
)  =/=  1  ->  sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) ) #  1 ) )
188, 9, 10, 17syl21anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  ( sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( f `
 i ) )  =/=  1  ->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) ) #  1 ) )
1918imp 124 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
)  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  /\  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) )  =/=  1
)  ->  sum_ i  e.  NN  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( f `  i
) ) #  1 )
202, 7, 19neapmkvlem 14955 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  =/=  y  ->  x #  y )  /\  f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) )  ->  ( -.  A. z  e.  NN  ( f `  z
)  =  1  ->  E. z  e.  NN  ( f `  z
)  =  0 ) )
2120ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
)  ->  A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) ( -.  A. z  e.  NN  (
f `  z )  =  1  ->  E. z  e.  NN  ( f `  z )  =  0 ) )
22 nnex 8928 . . . 4  |-  NN  e.  _V
23 ismkvnn 14941 . . . 4  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( NN  e. Markov 
<-> 
A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) ( -.  A. z  e.  NN  ( f `  z )  =  1  ->  E. z  e.  NN  ( f `  z
)  =  0 ) ) )
2422, 23ax-mp 5 . . 3  |-  ( NN  e. Markov 
<-> 
A. f  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  NN ) ( -.  A. z  e.  NN  ( f `  z )  =  1  ->  E. z  e.  NN  ( f `  z
)  =  0 ) )
2521, 24sylibr 134 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
)  ->  NN  e. Markov )
26 nnenom 10437 . . 3  |-  NN  ~~  om
27 enmkv 7163 . . 3  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( NN  e. Markov 
<->  om  e. Markov ) )
2826, 27ax-mp 5 . 2  |-  ( NN  e. Markov 
<->  om  e. Markov )
2925, 28sylib 122 1  |-  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  =/=  y  ->  x #  y
)  ->  om  e. Markov )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   {cpr 3595   class class class wbr 4005   omcom 4591   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878    ^m cmap 6651    ~~ cen 6741  Markovcmarkov 7152   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815    x. cmul 7819   # cap 8541    / cdiv 8632   NNcn 8922   2c2 8973   ^cexp 10522   sum_csu 11364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-omni 7136  df-markov 7153  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator