xrmaxiflemlub - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxiflemlub 11391

Description: Lemma for xrmaxif 11394. A least upper bound for

. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub.a
xrmaxiflemlub.b
xrmaxiflemlub.c
xrmaxiflemlub.clt

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub	$\/$

**Proof of Theorem xrmaxiflemlub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemlub.clt	. . 3
2		xrmaxiflemlub.c	. . . 4
3		xrmaxiflemlub.a	. . . . 5
4		xrmaxiflemlub.b	. . . . 5
5		xrmaxiflemcl 11388	. . . . 5 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4
7		xrltso 9862	. . . . 5
8		sowlin 4351	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
9	7, 8	mpan 424	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
10	2, 6, 3, 9	syl3anc 1249	. . 3 $\/$
11	1, 10	mpd 13	. 2 $\/$
12	1	adantr 276	. . . . 5 $/\$
13	3	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
14	4	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	16	iftrued 3564	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18	15, 17	breqtrd 4055	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19	18, 16	breqtrrd 4057	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	21	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	20, 22	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
26	25	iftrued 3564	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	breqtrd 4055	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
28		xrltnr 9845	. . . . . . . . . . 11
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	27, 30	pm2.21dd 621	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36, 38	breqtrd 4055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		nltpnft 9880	. . . . . . . . . . . . 13
41	3, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
42	41	ad4antr 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	39, 43	pm2.21dd 621	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 51	breqtrd 4055	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		elxr 9842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
65	3, 64	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
66	65	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
67	62, 63, 66	ecase23d 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	60, 61, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		elxr 9842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
72	4, 71	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
73	72	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
74	69, 70, 73	ecase23d 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	60, 61, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	61	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		maxleastlt 11359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
80	68, 75, 68, 78, 79	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
81	80	orcomd 730	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	53, 81	ecased 1360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		xrmnfdc 9909	. . . . . . . . . . . 12 DECID
84		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . 12 DECID $\/$
85	3, 83, 84	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$
86	85	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
87	52, 82, 86	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		xrpnfdc 9908	. . . . . . . . . . 11 DECID
89		exmiddc 837	. . . . . . . . . . 11 DECID $\/$
90	3, 88, 89	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $\/$
91	90	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
92	44, 87, 91	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		xrmnfdc 9909	. . . . . . . . . 10 DECID
94		exmiddc 837	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
95	4, 93, 94	3syl 17	. . . . . . . . 9 $\/$
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
97	31, 92, 96	mpjaodan 799	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
98		xrpnfdc 9908	. . . . . . . 8 DECID
99		exmiddc 837	. . . . . . . 8 DECID $\/$
100	14, 98, 99	3syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
101	19, 97, 100	mpjaodan 799	. . . . . 6 $/\$
102	13, 14, 101	xrmaxiflemab 11390	. . . . 5 $/\$
103	12, 102	breqtrd 4055	. . . 4 $/\$
104	103	ex 115	. . 3
105	104	orim2d 789	. 2 $\/$ $\/$
106	11, 105	mpd 13	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835 $\/$ w3o 979 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

cif 3557

cpr 3619 class class class wbr 4029

wor 4326

csup 7041

cr 7871

cpnf 8051

cmnf 8052

cxr 8053

clt 8054

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-rp 9720 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143

This theorem is referenced by: xrmaxiflemval 11393 xrmaxleastlt 11399

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