xrmaxiflemlub - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxiflemlub 10903

Description: Lemma for xrmaxif 10906. A least upper bound for

. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub.a
xrmaxiflemlub.b
xrmaxiflemlub.c
xrmaxiflemlub.clt

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub	$\/$

**Proof of Theorem xrmaxiflemlub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemlub.clt	. . 3
2		xrmaxiflemlub.c	. . . 4
3		xrmaxiflemlub.a	. . . . 5
4		xrmaxiflemlub.b	. . . . 5
5		xrmaxiflemcl 10900	. . . . 5 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anc 406	. . . 4
7		xrltso 9469	. . . . 5
8		sowlin 4200	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
9	7, 8	mpan 418	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
10	2, 6, 3, 9	syl3anc 1197	. . 3 $\/$
11	1, 10	mpd 13	. 2 $\/$
12	1	adantr 272	. . . . 5 $/\$
13	3	adantr 272	. . . . . 6 $/\$
14	4	adantr 272	. . . . . 6 $/\$
15		simplr 502	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		simpr 109	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	16	iftrued 3445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18	15, 17	breqtrd 3917	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19	18, 16	breqtrrd 3919	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		simplr 502	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	21	iffalsed 3448	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	20, 22	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24	23	adantr 272	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
26	25	iftrued 3445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	breqtrd 3917	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
28		xrltnr 9453	. . . . . . . . . . 11
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10
30	29	ad3antrrr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	27, 30	pm2.21dd 592	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	23	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
33		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	iffalsed 3448	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	iftrued 3445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36, 38	breqtrd 3917	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		nltpnft 9484	. . . . . . . . . . . . 13
41	3, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
42	41	ad4antr 483	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	39, 43	pm2.21dd 592	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	35	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	iffalsed 3448	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	iftrued 3445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 51	breqtrd 3917	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	29	ad5antr 485	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		simp-5l 515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simp-4r 514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simpllr 506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	jca 302	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		elxr 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
65	3, 64	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
66	65	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
67	62, 63, 66	ecase23d 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	60, 61, 67	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simp-4r 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simpllr 506	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		elxr 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
72	4, 71	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
73	72	ad4antr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
74	69, 70, 73	ecase23d 1309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	60, 61, 74	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	48	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	61	iffalsed 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	breqtrd 3917	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		maxleastlt 10873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
80	68, 75, 68, 78, 79	syl22anc 1198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
81	80	orcomd 701	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	53, 81	ecased 1308	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		xrmnfdc 9513	. . . . . . . . . . . 12 DECID
84		exmiddc 804	. . . . . . . . . . . 12 DECID $\/$
85	3, 83, 84	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$
86	85	ad4antr 483	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
87	52, 82, 86	mpjaodan 770	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		xrpnfdc 9512	. . . . . . . . . . 11 DECID
89		exmiddc 804	. . . . . . . . . . 11 DECID $\/$
90	3, 88, 89	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $\/$
91	90	ad3antrrr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
92	44, 87, 91	mpjaodan 770	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		xrmnfdc 9513	. . . . . . . . . 10 DECID
94		exmiddc 804	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
95	4, 93, 94	3syl 17	. . . . . . . . 9 $\/$
96	95	ad2antrr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
97	31, 92, 96	mpjaodan 770	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
98		xrpnfdc 9512	. . . . . . . 8 DECID
99		exmiddc 804	. . . . . . . 8 DECID $\/$
100	14, 98, 99	3syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
101	19, 97, 100	mpjaodan 770	. . . . . 6 $/\$
102	13, 14, 101	xrmaxiflemab 10902	. . . . 5 $/\$
103	12, 102	breqtrd 3917	. . . 4 $/\$
104	103	ex 114	. . 3
105	104	orim2d 760	. 2 $\/$ $\/$
106	11, 105	mpd 13	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 680 DECID wdc 802 $\/$ w3o 942 $/\$ w3a 943

wceq 1312

wcel 1461

cif 3438

cpr 3492 class class class wbr 3893

wor 4175

csup 6819

cr 7540

cpnf 7715

cmnf 7716

cxr 7717

clt 7718

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 ax-cnex 7630 ax-resscn 7631 ax-1cn 7632 ax-1re 7633 ax-icn 7634 ax-addcl 7635 ax-addrcl 7636 ax-mulcl 7637 ax-mulrcl 7638 ax-addcom 7639 ax-mulcom 7640 ax-addass 7641 ax-mulass 7642 ax-distr 7643 ax-i2m1 7644 ax-0lt1 7645 ax-1rid 7646 ax-0id 7647 ax-rnegex 7648 ax-precex 7649 ax-cnre 7650 ax-pre-ltirr 7651 ax-pre-ltwlin 7652 ax-pre-lttrn 7653 ax-pre-apti 7654 ax-pre-ltadd 7655 ax-pre-mulgt0 7656 ax-pre-mulext 7657 ax-arch 7658 ax-caucvg 7659

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-nel 2376 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rmo 2396 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-if 3439 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-ilim 4249 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-riota 5682 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-recs 6154 df-frec 6240 df-sup 6821 df-pnf 7720 df-mnf 7721 df-xr 7722 df-ltxr 7723 df-le 7724 df-sub 7852 df-neg 7853 df-reap 8249 df-ap 8256 df-div 8340 df-inn 8625 df-2 8683 df-3 8684 df-4 8685 df-n0 8876 df-z 8953 df-uz 9223 df-rp 9338 df-seqfrec 10106 df-exp 10180 df-cj 10501 df-re 10502 df-im 10503 df-rsqrt 10656 df-abs 10657

This theorem is referenced by: xrmaxiflemval 10905 xrmaxleastlt 10911

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