xrmaxiflemlub - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxiflemlub 11256

Description: Lemma for xrmaxif 11259. A least upper bound for

. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub.a
xrmaxiflemlub.b
xrmaxiflemlub.c
xrmaxiflemlub.clt

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub	$\/$

**Proof of Theorem xrmaxiflemlub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemlub.clt	. . 3
2		xrmaxiflemlub.c	. . . 4
3		xrmaxiflemlub.a	. . . . 5
4		xrmaxiflemlub.b	. . . . 5
5		xrmaxiflemcl 11253	. . . . 5 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4
7		xrltso 9796	. . . . 5
8		sowlin 4321	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
9	7, 8	mpan 424	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
10	2, 6, 3, 9	syl3anc 1238	. . 3 $\/$
11	1, 10	mpd 13	. 2 $\/$
12	1	adantr 276	. . . . 5 $/\$
13	3	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
14	4	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	16	iftrued 3542	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18	15, 17	breqtrd 4030	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19	18, 16	breqtrrd 4032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	21	iffalsed 3545	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	20, 22	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
26	25	iftrued 3542	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	breqtrd 4030	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
28		xrltnr 9779	. . . . . . . . . . 11
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	27, 30	pm2.21dd 620	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	iffalsed 3545	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	iftrued 3542	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36, 38	breqtrd 4030	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		nltpnft 9814	. . . . . . . . . . . . 13
41	3, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
42	41	ad4antr 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	39, 43	pm2.21dd 620	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	iffalsed 3545	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	iftrued 3542	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 51	breqtrd 4030	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		elxr 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
65	3, 64	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
66	65	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
67	62, 63, 66	ecase23d 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	60, 61, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		elxr 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
72	4, 71	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
73	72	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
74	69, 70, 73	ecase23d 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	60, 61, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	61	iffalsed 3545	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		maxleastlt 11224	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
80	68, 75, 68, 78, 79	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
81	80	orcomd 729	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	53, 81	ecased 1349	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		xrmnfdc 9843	. . . . . . . . . . . 12 DECID
84		exmiddc 836	. . . . . . . . . . . 12 DECID $\/$
85	3, 83, 84	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$
86	85	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
87	52, 82, 86	mpjaodan 798	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		xrpnfdc 9842	. . . . . . . . . . 11 DECID
89		exmiddc 836	. . . . . . . . . . 11 DECID $\/$
90	3, 88, 89	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $\/$
91	90	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
92	44, 87, 91	mpjaodan 798	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		xrmnfdc 9843	. . . . . . . . . 10 DECID
94		exmiddc 836	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
95	4, 93, 94	3syl 17	. . . . . . . . 9 $\/$
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
97	31, 92, 96	mpjaodan 798	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
98		xrpnfdc 9842	. . . . . . . 8 DECID
99		exmiddc 836	. . . . . . . 8 DECID $\/$
100	14, 98, 99	3syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
101	19, 97, 100	mpjaodan 798	. . . . . 6 $/\$
102	13, 14, 101	xrmaxiflemab 11255	. . . . 5 $/\$
103	12, 102	breqtrd 4030	. . . 4 $/\$
104	103	ex 115	. . 3
105	104	orim2d 788	. 2 $\/$ $\/$
106	11, 105	mpd 13	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 DECID wdc 834 $\/$ w3o 977 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

cif 3535

cpr 3594 class class class wbr 4004

wor 4296

csup 6981

cr 7810

cpnf 7989

cmnf 7990

cxr 7991

clt 7992

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-sup 6983 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-rp 9654 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008

This theorem is referenced by: xrmaxiflemval 11258 xrmaxleastlt 11264

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