xrmaxiflemlub - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxiflemlub 11674

Description: Lemma for xrmaxif 11677. A least upper bound for

. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Apr-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub.a
xrmaxiflemlub.b
xrmaxiflemlub.c
xrmaxiflemlub.clt

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxiflemlub	$\/$

**Proof of Theorem xrmaxiflemlub**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemlub.clt	. . 3
2		xrmaxiflemlub.c	. . . 4
3		xrmaxiflemlub.a	. . . . 5
4		xrmaxiflemlub.b	. . . . 5
5		xrmaxiflemcl 11671	. . . . 5 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4
7		xrltso 9953	. . . . 5
8		sowlin 4385	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
9	7, 8	mpan 424	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
10	2, 6, 3, 9	syl3anc 1250	. . 3 $\/$
11	1, 10	mpd 13	. 2 $\/$
12	1	adantr 276	. . . . 5 $/\$
13	3	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
14	4	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	16	iftrued 3586	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
18	15, 17	breqtrd 4085	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
19	18, 16	breqtrrd 4087	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	21	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	20, 22	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
26	25	iftrued 3586	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 26	breqtrd 4085	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
28		xrltnr 9936	. . . . . . . . . . 11
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
31	27, 30	pm2.21dd 621	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	iftrued 3586	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	36, 38	breqtrd 4085	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		nltpnft 9971	. . . . . . . . . . . . 13
41	3, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12
42	41	ad4antr 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	37, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44	39, 43	pm2.21dd 621	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	45, 47	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	iftrued 3586	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 51	breqtrd 4085	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		elxr 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
65	3, 64	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
66	65	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
67	62, 63, 66	ecase23d 1363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	60, 61, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71		elxr 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$
72	4, 71	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
73	72	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
74	69, 70, 73	ecase23d 1363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	60, 61, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	61	iffalsed 3589	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		maxleastlt 11641	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
80	68, 75, 68, 78, 79	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
81	80	orcomd 731	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
82	53, 81	ecased 1362	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		xrmnfdc 10000	. . . . . . . . . . . 12 DECID
84		exmiddc 838	. . . . . . . . . . . 12 DECID $\/$
85	3, 83, 84	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$
86	85	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
87	52, 82, 86	mpjaodan 800	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		xrpnfdc 9999	. . . . . . . . . . 11 DECID
89		exmiddc 838	. . . . . . . . . . 11 DECID $\/$
90	3, 88, 89	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $\/$
91	90	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
92	44, 87, 91	mpjaodan 800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		xrmnfdc 10000	. . . . . . . . . 10 DECID
94		exmiddc 838	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
95	4, 93, 94	3syl 17	. . . . . . . . 9 $\/$
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
97	31, 92, 96	mpjaodan 800	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
98		xrpnfdc 9999	. . . . . . . 8 DECID
99		exmiddc 838	. . . . . . . 8 DECID $\/$
100	14, 98, 99	3syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
101	19, 97, 100	mpjaodan 800	. . . . . 6 $/\$
102	13, 14, 101	xrmaxiflemab 11673	. . . . 5 $/\$
103	12, 102	breqtrd 4085	. . . 4 $/\$
104	103	ex 115	. . 3
105	104	orim2d 790	. 2 $\/$ $\/$
106	11, 105	mpd 13	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $\/$ w3o 980 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

cif 3579

cpr 3644 class class class wbr 4059

wor 4360

csup 7110

cr 7959

cpnf 8139

cmnf 8140

cxr 8141

clt 8142

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-sup 7112 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-rp 9811 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425

This theorem is referenced by: xrmaxiflemval 11676 xrmaxleastlt 11682

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