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Theorem cauappcvgprlemloc 7601
Description: Lemma for cauappcvgpr 7611. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7358 . . . . 5  |-  ( s 
<Q  r  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
3 subhalfnqq 7363 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  <Q  y
)
43ad2antrl 487 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  <Q  y )
5 simprr 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x ) 
<Q  y )
6 simplrl 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  s  e.  Q. )
76adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  s  e.  Q. )
87adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  s  e.  Q. )
9 ltanqi 7351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +Q  x
)  <Q  y  /\  s  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
105, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
11 simplrr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  y )  =  r )
1210, 11breqtrd 4013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  r )
13 simprl 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  x  e.  Q. )
14 addclnq 7324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )
1513, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x )  e.  Q. )
16 addclnq 7324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q. )
178, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) )  e.  Q. )
18 simplrr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  r  e.  Q. )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  r  e.  Q. )
2019adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  r  e.  Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  Q. )
24 addclnq 7324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  x
)  e.  Q. )
2523, 13, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )
26 ltsonq 7347 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
27 sowlin 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. ) )  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x ) )  <Q 
r  ->  ( (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
)  \/  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q 
r ) ) )
2826, 27mpan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )  -> 
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) )
318adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  Q. )
32 simplrl 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  x  e.  Q. )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )
34 addassnqg 7331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
3635breq1d 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( ( s  +Q  x )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  <-> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) ) )
3733, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
38 ltanqg 7349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3938adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
40 addclnq 7324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4131, 32, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4223adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
43 addcomnqg 7330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4443adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )  <->  ( ( s  +Q  x
)  +Q  x ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) ) )
4637, 45mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )
47 oveq2 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  x ) )
48 fveq2 5494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
4947, 48breq12d 4000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )
) )
5049rspcev 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
5132, 46, 50syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
52 oveq1 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
5352breq1d 3997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
5453rexbidv 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
5655fveq2i 5497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
57 nqex 7312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q.  e.  _V
5857rabex 4131 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
5957rabex 4131 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
6058, 59op1st 6122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6156, 60eqtri 2191 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6254, 61elrab2 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
6331, 51, 62sylanbrc 415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
6463ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
6520adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  q  =  x )
6748, 66oveq12d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
6867breq1d 3997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r  <->  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q  r
) )
6968rspcev 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
7013, 69sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
71 breq2 3991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7271rexbidv 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7355fveq2i 5497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
7458, 59op2nd 6123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7573, 74eqtri 2191 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7672, 75elrab2 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7765, 70, 76sylanbrc 415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  ( 2nd `  L ) )
7877ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
7964, 78orim12d 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
)  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
814, 80rexlimddv 2592 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
822, 81rexlimddv 2592 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
8382ex 114 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  -> 
( s  <Q  r  ->  ( s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L ) ) ) )
8483ralrimivva 2552 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   <.cop 3584   class class class wbr 3987    Or wor 4278   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1stc1st 6114   2ndc2nd 6115   Q.cnq 7229    +Q cplq 7231    <Q cltq 7234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7602
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