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Theorem cauappcvgprlemloc 7839
Description: Lemma for cauappcvgpr 7849. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s
Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)
Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7596 . . . . 5 |- ( s <Q r -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
21adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
3 subhalfnqq 7601 . . . . . 6 |- ( y e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
43ad2antrl 490 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
5 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) <Q y )
6 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> s e. Q. )
76adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> s e. Q. )
87adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> s e. Q. )
9 ltanqi 7589 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x +Q x ) <Q y /\ s e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
105, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
11 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q y ) = r )
1210, 11breqtrd 4109 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r )
13 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> x e. Q. )
14 addclnq 7562 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
1513, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
16 addclnq 7562 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. Q. /\ ( x +Q x ) e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
18 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> r e. Q. )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> r e. Q. )
2019adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> r e. Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelcdmd 5771 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
24 addclnq 7562 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
2523, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
26 ltsonq 7585 . . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
27 sowlin 4411 . . . . . . . . 9 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2826, 27mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
318adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. Q. )
32 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> x e. Q. )
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
34 addassnqg 7569 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3635breq1d 4093 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) <-> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
3733, 36mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
38 ltanqg 7587 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
3938adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
40 addclnq 7562 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4131, 32, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4223adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
43 addcomnqg 7568 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4443adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 6175 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) <-> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
4637, 45mpbird 167 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) )
47 oveq2 6009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( s +Q q ) = ( s +Q x ) )
48 fveq2 5627 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
4947, 48breq12d 4096 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) )
5049rspcev 2907 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
5132, 46, 50syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
52 oveq1 6008 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
5352breq1d 4093 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
5453rexbidv 2531 . . . . . . . . . 10 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
5655fveq2i 5630 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
57 nqex 7550 . . . . . . . . . . . . 13 |- Q. e. _V
5857rabex 4228 . . . . . . . . . . . 12 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
5957rabex 4228 . . . . . . . . . . . 12 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
6058, 59op1st 6292 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6156, 60eqtri 2250 . . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6254, 61elrab2 2962 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
6331, 51, 62sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. ( 1st ` L ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) -> s e. ( 1st ` L ) ) )
6520adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> q = x )
6748, 66oveq12d 6019 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` x ) +Q x ) )
6867breq1d 4093 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r <-> ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
6968rspcev 2907 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
7013, 69sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
71 breq2 4087 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = r -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7271rexbidv 2531 . . . . . . . . . 10 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7355fveq2i 5630 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
7458, 59op2nd 6293 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7573, 74eqtri 2250 . . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7672, 75elrab2 2962 . . . . . . . . 9 |- ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7765, 70, 76sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` L ) )
7877ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r -> r e. ( 2nd ` L ) ) )
7964, 78orim12d 791 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
814, 80rexlimddv 2653 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
822, 81rexlimddv 2653 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
8382ex 115 . 2 |- ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8483ralrimivva 2612 1 |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   <.cop 3669   class class class wbr 4083   Or wor 4386   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1stc1st 6284   2ndc2nd 6285   Q.cnq 7467   +Q cplq 7469   <Q cltq 7472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7840
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