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Theorem cauappcvgprlemloc 7480
Description: Lemma for cauappcvgpr 7490. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7237 . . . . 5  |-  ( s 
<Q  r  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
21adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
3 subhalfnqq 7242 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  <Q  y
)
43ad2antrl 482 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  <Q  y )
5 simprr 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x ) 
<Q  y )
6 simplrl 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  s  e.  Q. )
76adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  s  e.  Q. )
87adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  s  e.  Q. )
9 ltanqi 7230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +Q  x
)  <Q  y  /\  s  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
105, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
11 simplrr 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  y )  =  r )
1210, 11breqtrd 3958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  r )
13 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  x  e.  Q. )
14 addclnq 7203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )
1513, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x )  e.  Q. )
16 addclnq 7203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q. )
178, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) )  e.  Q. )
18 simplrr 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  r  e.  Q. )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  r  e.  Q. )
2019adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  r  e.  Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  Q. )
24 addclnq 7203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  x
)  e.  Q. )
2523, 13, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )
26 ltsonq 7226 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
27 sowlin 4246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. ) )  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x ) )  <Q 
r  ->  ( (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
)  \/  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q 
r ) ) )
2826, 27mpan 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )  -> 
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) )
318adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  Q. )
32 simplrl 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  x  e.  Q. )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )
34 addassnqg 7210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
3635breq1d 3943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( ( s  +Q  x )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  <-> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) ) )
3733, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
38 ltanqg 7228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3938adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
40 addclnq 7203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4131, 32, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4223adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
43 addcomnqg 7209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4443adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )  <->  ( ( s  +Q  x
)  +Q  x ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) ) )
4637, 45mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )
47 oveq2 5786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  x ) )
48 fveq2 5425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
4947, 48breq12d 3946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )
) )
5049rspcev 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
5132, 46, 50syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
52 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
5352breq1d 3943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
5453rexbidv 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
5655fveq2i 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
57 nqex 7191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q.  e.  _V
5857rabex 4076 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
5957rabex 4076 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
6058, 59op1st 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6156, 60eqtri 2161 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6254, 61elrab2 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
6331, 51, 62sylanbrc 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
6463ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
6520adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  q  =  x )
6748, 66oveq12d 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
6867breq1d 3943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r  <->  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q  r
) )
6968rspcev 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
7013, 69sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
71 breq2 3937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7271rexbidv 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7355fveq2i 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
7458, 59op2nd 6049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7573, 74eqtri 2161 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7672, 75elrab2 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7765, 70, 76sylanbrc 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  ( 2nd `  L ) )
7877ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
7964, 78orim12d 776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
)  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
814, 80rexlimddv 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
822, 81rexlimddv 2555 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
8382ex 114 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  -> 
( s  <Q  r  ->  ( s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L ) ) ) )
8483ralrimivva 2515 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   <.cop 3531   class class class wbr 3933    Or wor 4221   -->wf 5123   ` cfv 5127  (class class class)co 5778   1stc1st 6040   2ndc2nd 6041   Q.cnq 7108    +Q cplq 7110    <Q cltq 7113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-eprel 4215  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-omul 6322  df-er 6433  df-ec 6435  df-qs 6439  df-ni 7132  df-pli 7133  df-mi 7134  df-lti 7135  df-plpq 7172  df-mpq 7173  df-enq 7175  df-nqqs 7176  df-plqqs 7177  df-mqqs 7178  df-1nqqs 7179  df-rq 7180  df-ltnqqs 7181
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7481
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