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Theorem cauappcvgprlemloc 7190
Description: Lemma for cauappcvgpr 7200. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6947 . . . . 5  |-  ( s 
<Q  r  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
3 subhalfnqq 6952 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  <Q  y
)
43ad2antrl 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  <Q  y )
5 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x ) 
<Q  y )
6 simplrl 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  s  e.  Q. )
76adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  s  e.  Q. )
87adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  s  e.  Q. )
9 ltanqi 6940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +Q  x
)  <Q  y  /\  s  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
105, 8, 9syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
11 simplrr 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  y )  =  r )
1210, 11breqtrd 3861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  r )
13 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  x  e.  Q. )
14 addclnq 6913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )
1513, 13, 14syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x )  e.  Q. )
16 addclnq 6913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q. )
178, 15, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) )  e.  Q. )
18 simplrr 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  r  e.  Q. )
1918adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  r  e.  Q. )
2019adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  r  e.  Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  Q. )
24 addclnq 6913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  x
)  e.  Q. )
2523, 13, 24syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )
26 ltsonq 6936 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
27 sowlin 4138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. ) )  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x ) )  <Q 
r  ->  ( (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
)  \/  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q 
r ) ) )
2826, 27mpan 415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )  -> 
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) )
318adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  Q. )
32 simplrl 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  x  e.  Q. )
33 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )
34 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
3635breq1d 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( ( s  +Q  x )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  <-> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) ) )
3733, 36mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
38 ltanqg 6938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3938adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
40 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4131, 32, 40syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4223adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
43 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4443adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )  <->  ( ( s  +Q  x
)  +Q  x ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) ) )
4637, 45mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )
47 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  x ) )
48 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
4947, 48breq12d 3850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )
) )
5049rspcev 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
5132, 46, 50syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
52 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
5352breq1d 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
5453rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
5655fveq2i 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
57 nqex 6901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q.  e.  _V
5857rabex 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
5957rabex 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
6058, 59op1st 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6156, 60eqtri 2108 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6254, 61elrab2 2772 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
6331, 51, 62sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
6463ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
6520adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  q  =  x )
6748, 66oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
6867breq1d 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r  <->  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q  r
) )
6968rspcev 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
7013, 69sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
71 breq2 3841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7271rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7355fveq2i 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
7458, 59op2nd 5900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7573, 74eqtri 2108 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7672, 75elrab2 2772 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7765, 70, 76sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  ( 2nd `  L ) )
7877ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
7964, 78orim12d 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
)  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
814, 80rexlimddv 2493 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
822, 81rexlimddv 2493 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
8382ex 113 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  -> 
( s  <Q  r  ->  ( s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L ) ) ) )
8483ralrimivva 2455 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   <.cop 3444   class class class wbr 3837    Or wor 4113   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7191
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