ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemloc Unicode version
Theorem cauappcvgprlemloc 7642
Description: Lemma for cauappcvgpr 7652. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s
Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)
Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7399 . . . . 5 |- ( s <Q r -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
21adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
3 subhalfnqq 7404 . . . . . 6 |- ( y e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
43ad2antrl 490 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
5 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) <Q y )
6 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> s e. Q. )
76adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> s e. Q. )
87adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> s e. Q. )
9 ltanqi 7392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x +Q x ) <Q y /\ s e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
105, 8, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
11 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q y ) = r )
1210, 11breqtrd 4026 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r )
13 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> x e. Q. )
14 addclnq 7365 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
1513, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
16 addclnq 7365 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. Q. /\ ( x +Q x ) e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
18 simplrr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> r e. Q. )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> r e. Q. )
2019adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> r e. Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
24 addclnq 7365 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
2523, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
26 ltsonq 7388 . . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
27 sowlin 4317 . . . . . . . . 9 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2826, 27mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
318adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. Q. )
32 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> x e. Q. )
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
34 addassnqg 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3635breq1d 4010 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) <-> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
3733, 36mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
38 ltanqg 7390 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
3938adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
40 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4131, 32, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4223adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
43 addcomnqg 7371 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4443adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 6038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) <-> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
4637, 45mpbird 167 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) )
47 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( s +Q q ) = ( s +Q x ) )
48 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
4947, 48breq12d 4013 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) )
5049rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
5132, 46, 50syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
52 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
5352breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
5453rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
5655fveq2i 5514 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
57 nqex 7353 . . . . . . . . . . . . 13 |- Q. e. _V
5857rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
5957rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
6058, 59op1st 6141 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6156, 60eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6254, 61elrab2 2896 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
6331, 51, 62sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. ( 1st ` L ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) -> s e. ( 1st ` L ) ) )
6520adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> q = x )
6748, 66oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` x ) +Q x ) )
6867breq1d 4010 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r <-> ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
6968rspcev 2841 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
7013, 69sylan 283 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
71 breq2 4004 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = r -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7271rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7355fveq2i 5514 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
7458, 59op2nd 6142 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7573, 74eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7672, 75elrab2 2896 . . . . . . . . 9 |- ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7765, 70, 76sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` L ) )
7877ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r -> r e. ( 2nd ` L ) ) )
7964, 78orim12d 786 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
814, 80rexlimddv 2599 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
822, 81rexlimddv 2599 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
8382ex 115 . 2 |- ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8483ralrimivva 2559 1 |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   <.cop 3594   class class class wbr 4000   Or wor 4292   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1stc1st 6133   2ndc2nd 6134   Q.cnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7643
  Copyright terms: Public domain W3C validator