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Theorem cauappcvgprlemloc 7584
Description: Lemma for cauappcvgpr 7594. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s
Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)
Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7341 . . . . 5 |- ( s <Q r -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
21adantl 275 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
3 subhalfnqq 7346 . . . . . 6 |- ( y e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
43ad2antrl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
5 simprr 522 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) <Q y )
6 simplrl 525 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> s e. Q. )
76adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> s e. Q. )
87adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> s e. Q. )
9 ltanqi 7334 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x +Q x ) <Q y /\ s e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
105, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
11 simplrr 526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q y ) = r )
1210, 11breqtrd 4002 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r )
13 simprl 521 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> x e. Q. )
14 addclnq 7307 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
1513, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
16 addclnq 7307 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. Q. /\ ( x +Q x ) e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
178, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
18 simplrr 526 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> r e. Q. )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> r e. Q. )
2019adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> r e. Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5615 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
24 addclnq 7307 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
2523, 13, 24syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
26 ltsonq 7330 . . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
27 sowlin 4292 . . . . . . . . 9 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2826, 27mpan 421 . . . . . . . 8 |- ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1227 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
318adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. Q. )
32 simplrl 525 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> x e. Q. )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
34 addassnqg 7314 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3635breq1d 3986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) <-> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
3733, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
38 ltanqg 7332 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
3938adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
40 addclnq 7307 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4131, 32, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4223adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
43 addcomnqg 7313 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4443adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 6002 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) <-> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
4637, 45mpbird 166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) )
47 oveq2 5844 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( s +Q q ) = ( s +Q x ) )
48 fveq2 5480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
4947, 48breq12d 3989 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) )
5049rspcev 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
5132, 46, 50syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
52 oveq1 5843 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
5352breq1d 3986 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
5453rexbidv 2465 . . . . . . . . . 10 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
5655fveq2i 5483 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
57 nqex 7295 . . . . . . . . . . . . 13 |- Q. e. _V
5857rabex 4120 . . . . . . . . . . . 12 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
5957rabex 4120 . . . . . . . . . . . 12 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
6058, 59op1st 6106 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6156, 60eqtri 2185 . . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6254, 61elrab2 2880 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
6331, 51, 62sylanbrc 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. ( 1st ` L ) )
6463ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) -> s e. ( 1st ` L ) ) )
6520adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> q = x )
6748, 66oveq12d 5854 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` x ) +Q x ) )
6867breq1d 3986 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r <-> ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
6968rspcev 2825 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
7013, 69sylan 281 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
71 breq2 3980 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = r -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7271rexbidv 2465 . . . . . . . . . 10 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7355fveq2i 5483 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
7458, 59op2nd 6107 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7573, 74eqtri 2185 . . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7672, 75elrab2 2880 . . . . . . . . 9 |- ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7765, 70, 76sylanbrc 414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` L ) )
7877ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r -> r e. ( 2nd ` L ) ) )
7964, 78orim12d 776 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
814, 80rexlimddv 2586 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
822, 81rexlimddv 2586 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
8382ex 114 . 2 |- ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8483ralrimivva 2546 1 |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446   <.cop 3573   class class class wbr 3976   Or wor 4267   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   1stc1st 6098   2ndc2nd 6099   Q.cnq 7212   +Q cplq 7214   <Q cltq 7217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-pli 7237  df-mi 7238  df-lti 7239  df-plpq 7276  df-mpq 7277  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-plqqs 7281  df-mqqs 7282  df-1nqqs 7283  df-rq 7284  df-ltnqqs 7285
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7585
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