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Theorem cauappcvgprlemloc 7361
Description: Lemma for cauappcvgpr 7371. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables  f  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7118 . . . . 5  |-  ( s 
<Q  r  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
21adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  E. y  e.  Q.  ( s  +Q  y )  =  r )
3 subhalfnqq 7123 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  <Q  y
)
43ad2antrl 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  <Q  y )
5 simprr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x ) 
<Q  y )
6 simplrl 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  s  e.  Q. )
76adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  s  e.  Q. )
87adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  s  e.  Q. )
9 ltanqi 7111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +Q  x
)  <Q  y  /\  s  e.  Q. )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
105, 8, 9syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( s  +Q  y
) )
11 simplrr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  y )  =  r )
1210, 11breqtrd 3899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  r )
13 simprl 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  x  e.  Q. )
14 addclnq 7084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )
1513, 13, 14syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
x  +Q  x )  e.  Q. )
16 addclnq 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q. )
178, 15, 16syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) )  e.  Q. )
18 simplrr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  r  e.  Q. )
1918adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  r  e.  Q. )
2019adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  r  e.  Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  Q. )
24 addclnq 7084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  x
)  e.  Q. )
2523, 13, 24syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )
26 ltsonq 7107 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
27 sowlin 4180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. ) )  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x ) )  <Q 
r  ->  ( (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
)  \/  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q 
r ) ) )
2826, 27mpan 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  e.  Q.  /\  r  e.  Q.  /\  (
( F `  x
)  +Q  x )  e.  Q. )  -> 
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  r  ->  ( ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  \/  (
( F `  x
)  +Q  x ) 
<Q  r ) )
318adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  Q. )
32 simplrl 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  x  e.  Q. )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )
34 addassnqg 7091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( s  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( s  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
3635breq1d 3885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( ( s  +Q  x )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  <-> 
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) ) )
3733, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
38 ltanqg 7109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3938adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
40 addclnq 7084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4131, 32, 40syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  e.  Q. )
4223adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
43 addcomnqg 7090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4443adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  /\  (
s  +Q  ( x  +Q  x ) ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )  <->  ( ( s  +Q  x
)  +Q  x ) 
<Q  ( ( F `  x )  +Q  x
) ) )
4637, 45mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )
47 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  x ) )
48 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
4947, 48breq12d 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  x )  <Q  ( F `  x )
) )
5049rspcev 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( s  +Q  x
)  <Q  ( F `  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
5132, 46, 50syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
52 oveq1 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
5352breq1d 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
5453rexbidv 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
5655fveq2i 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
57 nqex 7072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q.  e.  _V
5857rabex 4012 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
5957rabex 4012 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
6058, 59op1st 5975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6156, 60eqtri 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
6254, 61elrab2 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
6331, 51, 62sylanbrc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x ) )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
6463ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( s  +Q  (
x  +Q  x ) )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  x )  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
6520adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  q  =  x )
6748, 66oveq12d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 x )  +Q  x ) )
6867breq1d 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r  <->  ( ( F `  x )  +Q  x )  <Q  r
) )
6968rspcev 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
7013, 69sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  r )
71 breq2 3879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7271rexbidv 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7355fveq2i 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
7458, 59op2nd 5976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7573, 74eqtri 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
7672, 75elrab2 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  r
) )
7765, 70, 76sylanbrc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  ( s  +Q  y
)  =  r ) )  /\  ( x  e.  Q.  /\  (
x  +Q  x ) 
<Q  y ) )  /\  ( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r )  -> 
r  e.  ( 2nd `  L ) )
7877ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  x
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
7964, 78orim12d 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
( ( s  +Q  ( x  +Q  x
) )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  x )  \/  ( ( F `
 x )  +Q  x )  <Q  r
)  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  /\  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  +Q  x )  <Q  y
) )  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
814, 80rexlimddv 2513 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  /\  ( y  e.  Q.  /\  (
s  +Q  y )  =  r ) )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
822, 81rexlimddv 2513 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  Q.  /\  r  e.  Q. )
)  /\  s  <Q  r )  ->  ( s  e.  ( 1st `  L
)  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) )
8382ex 114 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  Q.  /\  r  e. 
Q. ) )  -> 
( s  <Q  r  ->  ( s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L ) ) ) )
8483ralrimivva 2473 1  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
s  <Q  r  ->  (
s  e.  ( 1st `  L )  \/  r  e.  ( 2nd `  L
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 670    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   {crab 2379   <.cop 3477   class class class wbr 3875    Or wor 4155   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1stc1st 5967   2ndc2nd 5968   Q.cnq 6989    +Q cplq 6991    <Q cltq 6994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7362
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