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Theorem cauappcvgprlemloc 7361
Description: Lemma for cauappcvgpr 7371. The putative limit is located. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemloc |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s
Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)
Proof of Theorem cauappcvgprlemloc
Dummy variables f g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 7118 . . . . 5 |- ( s <Q r -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
21adantl 273 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> E. y e. Q. ( s +Q y ) = r )
3 subhalfnqq 7123 . . . . . 6 |- ( y e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
43ad2antrl 477 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> E. x e. Q. ( x +Q x ) <Q y )
5 simprr 502 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) <Q y )
6 simplrl 505 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> s e. Q. )
76adantr 272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> s e. Q. )
87adantr 272 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> s e. Q. )
9 ltanqi 7111 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x +Q x ) <Q y /\ s e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
105, 8, 9syl2anc 406 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( s +Q y ) )
11 simplrr 506 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q y ) = r )
1210, 11breqtrd 3899 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r )
13 simprl 501 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> x e. Q. )
14 addclnq 7084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
1513, 13, 14syl2anc 406 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( x +Q x ) e. Q. )
16 addclnq 7084 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. Q. /\ ( x +Q x ) e. Q. ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
178, 15, 16syl2anc 406 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. )
18 simplrr 506 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> r e. Q. )
1918adantr 272 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> r e. Q. )
2019adantr 272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> r e. Q. )
21 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
2221ad4antr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> F : Q. --> Q. )
2322, 13ffvelrnd 5488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
24 addclnq 7084 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
2523, 13, 24syl2anc 406 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. )
26 ltsonq 7107 . . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
27 sowlin 4180 . . . . . . . . 9 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2826, 27mpan 418 . . . . . . . 8 |- ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) e. Q. /\ r e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) e. Q. ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
2917, 20, 25, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q r -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) ) )
3012, 29mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
318adantr 272 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. Q. )
32 simplrl 505 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> x e. Q. )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
34 addassnqg 7091 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3531, 32, 32, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) = ( s +Q ( x +Q x ) ) )
3635breq1d 3885 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) <-> ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
3733, 36mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) )
38 ltanqg 7109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
3938adantl 273 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
40 addclnq 7084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4131, 32, 40syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) e. Q. )
4223adantr 272 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
43 addcomnqg 7090 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4443adantl 273 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
4539, 41, 42, 32, 44caovord2d 5872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) <-> ( ( s +Q x ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) )
4637, 45mpbird 166 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) )
47 oveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( s +Q q ) = ( s +Q x ) )
48 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
4947, 48breq12d 3888 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) )
5049rspcev 2744 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( s +Q x ) <Q ( F ` x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
5132, 46, 50syl2anc 406 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
52 oveq1 5713 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
5352breq1d 3885 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
5453rexbidv 2397 . . . . . . . . . 10 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
55 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . 12 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
5655fveq2i 5356 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
57 nqex 7072 . . . . . . . . . . . . 13 |- Q. e. _V
5857rabex 4012 . . . . . . . . . . . 12 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
5957rabex 4012 . . . . . . . . . . . 12 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
6058, 59op1st 5975 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6156, 60eqtri 2120 . . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
6254, 61elrab2 2796 . . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
6331, 51, 62sylanbrc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) ) -> s e. ( 1st ` L ) )
6463ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) -> s e. ( 1st ` L ) ) )
6520adantr 272 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. Q. )
66 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> q = x )
6748, 66oveq12d 5724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` x ) +Q x ) )
6867breq1d 3885 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r <-> ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) )
6968rspcev 2744 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
7013, 69sylan 279 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r )
71 breq2 3879 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = r -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7271rexbidv 2397 . . . . . . . . . 10 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7355fveq2i 5356 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
7458, 59op2nd 5976 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7573, 74eqtri 2120 . . . . . . . . . 10 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
7672, 75elrab2 2796 . . . . . . . . 9 |- ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q r ) )
7765, 70, 76sylanbrc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) /\ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` L ) )
7877ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r -> r e. ( 2nd ` L ) ) )
7964, 78orim12d 741 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( ( ( s +Q ( x +Q x ) ) <Q ( ( F ` x ) +Q x ) \/ ( ( F ` x ) +Q x ) <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8030, 79mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) <Q y ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
814, 80rexlimddv 2513 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) /\ ( y e. Q. /\ ( s +Q y ) = r ) ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
822, 81rexlimddv 2513 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) /\ s <Q r ) -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) )
8382ex 114 . 2 |- ( ( ph /\ ( s e. Q. /\ r e. Q. ) ) -> ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
8483ralrimivva 2473 1 |- ( ph -> A. s e. Q. A. r e. Q. ( s <Q r -> ( s e. ( 1st ` L ) \/ r e. ( 2nd ` L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 670   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   {crab 2379   <.cop 3477   class class class wbr 3875   Or wor 4155   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1stc1st 5967   2ndc2nd 5968   Q.cnq 6989   +Q cplq 6991   <Q cltq 6994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7362
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