Theorem axpre-ltwlin 7998

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 8040. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltwlin	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltwlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7943	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7943	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7943	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4048	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		breq1 4048	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
6	5	orbi1d 793	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4049	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq2 4049	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> <. z , 0R >. <RR B ) )
10	9	orbi2d 792	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) )
11	8, 10	imbi12d 234	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) ) )
12		breq2 4049	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
13		breq1 4048	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. <RR B <-> C <RR B ) )
14	12, 13	orbi12d 795	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) <-> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )
15	14	imbi2d 230	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) ) )
16		ltsosr 7879	. . . 4 |- <R Or R.
17		sowlin 4368	. . . 4 |- ( ( <R Or R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
18	16, 17	mpan 424	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
19		ltresr 7954	. . 3 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
20		ltresr 7954	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
21		ltresr 7954	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> z <R y )
22	20, 21	orbi12i 766	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( x <R z \/ z <R y ) )
23	18, 19, 22	3imtr4g 205	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
24	1, 2, 3, 7, 11, 15, 23	3gencl 2806	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4045   Or wor 4343   R.cnr 7412   0Rc0r 7413   <R cltr 7418   RRcr 7926   <RR cltrr 7931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-enq0 7539  df-nq0 7540  df-0nq0 7541  df-plq0 7542  df-mq0 7543  df-inp 7581  df-i1p 7582  df-iplp 7583  df-iltp 7585  df-enr 7841  df-nr 7842  df-ltr 7845  df-0r 7846  df-r 7937  df-lt 7940

This theorem is referenced by: (None)