ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltwlin Unicode version

Theorem axpre-ltwlin 7714
Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 7756. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltwlin  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltwlin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7659 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7659 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7659 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 3939 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
5 breq1 3939 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
65orbi1d 781 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 233 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  -> 
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  -> 
( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 3940 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq2 3940 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  <. z ,  0R >. 
<RR  B ) )
109orbi2d 780 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  B ) ) )
118, 10imbi12d 233 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  ->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  <.
z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  B ) ) ) )
12 breq2 3940 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
13 breq1 3939 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  <RR  B  <->  C  <RR  B ) )
1412, 13orbi12d 783 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  B )  <->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )
1514imbi2d 229 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  B ) )  <->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) ) )
16 ltsosr 7595 . . . 4  |-  <R  Or  R.
17 sowlin 4249 . . . 4  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. ) )  -> 
( x  <R  y  ->  ( x  <R  z  \/  z  <R  y ) ) )
1816, 17mpan 421 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
x  <R  y  ->  (
x  <R  z  \/  z  <R  y ) ) )
19 ltresr 7670 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
20 ltresr 7670 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
21 ltresr 7670 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  z  <R  y )
2220, 21orbi12i 754 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  \/ 
<. z ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )  <-> 
( x  <R  z  \/  z  <R  y ) )
2318, 19, 223imtr4g 204 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  -> 
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >.  \/  <. z ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >. ) ) )
241, 2, 3, 7, 11, 15, 233gencl 2723 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( A  <RR  C  \/  C  <RR  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 698    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   <.cop 3534   class class class wbr 3936    Or wor 4224   R.cnr 7128   0Rc0r 7129    <R cltr 7134   RRcr 7642    <RR cltrr 7647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-2o 6321  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-1nqqs 7182  df-rq 7183  df-ltnqqs 7184  df-enq0 7255  df-nq0 7256  df-0nq0 7257  df-plq0 7258  df-mq0 7259  df-inp 7297  df-i1p 7298  df-iplp 7299  df-iltp 7301  df-enr 7557  df-nr 7558  df-ltr 7561  df-0r 7562  df-r 7653  df-lt 7656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator