Theorem axpre-ltwlin 7884

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 7926. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltwlin	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltwlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7829	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7829	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7829	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4008	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		breq1 4008	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
6	5	orbi1d 791	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4009	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq2 4009	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> <. z , 0R >. <RR B ) )
10	9	orbi2d 790	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) )
11	8, 10	imbi12d 234	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) ) )
12		breq2 4009	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
13		breq1 4008	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. <RR B <-> C <RR B ) )
14	12, 13	orbi12d 793	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) <-> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )
15	14	imbi2d 230	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) ) )
16		ltsosr 7765	. . . 4 |- <R Or R.
17		sowlin 4322	. . . 4 |- ( ( <R Or R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
18	16, 17	mpan 424	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
19		ltresr 7840	. . 3 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
20		ltresr 7840	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
21		ltresr 7840	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> z <R y )
22	20, 21	orbi12i 764	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( x <R z \/ z <R y ) )
23	18, 19, 22	3imtr4g 205	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
24	1, 2, 3, 7, 11, 15, 23	3gencl 2773	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005   Or wor 4297   R.cnr 7298   0Rc0r 7299   <R cltr 7304   RRcr 7812   <RR cltrr 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-r 7823  df-lt 7826

This theorem is referenced by: (None)