Theorem axpre-ltwlin 7618

Description: Real number less-than is weakly linear. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltwlin 7658. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltwlin	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltwlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7563	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7563	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7563	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 3898	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		breq1 3898	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
6	5	orbi1d 763	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 3899	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq2 3899	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> <. z , 0R >. <RR B ) )
10	9	orbi2d 762	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) )
11	8, 10	imbi12d 233	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) ) )
12		breq2 3899	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
13		breq1 3898	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. <RR B <-> C <RR B ) )
14	12, 13	orbi12d 765	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) <-> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )
15	14	imbi2d 229	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B -> ( A <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR B ) ) <-> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) ) )
16		ltsosr 7507	. . . 4 |- <R Or R.
17		sowlin 4202	. . . 4 |- ( ( <R Or R. /\ ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
18	16, 17	mpan 418	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y -> ( x <R z \/ z <R y ) ) )
19		ltresr 7574	. . 3 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
20		ltresr 7574	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
21		ltresr 7574	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> z <R y )
22	20, 21	orbi12i 736	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) <-> ( x <R z \/ z <R y ) )
23	18, 19, 22	3imtr4g 204	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. \/ <. z , 0R >. <RR <. y , 0R >. ) ) )
24	1, 2, 3, 7, 11, 15, 23	3gencl 2691	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( A <RR C \/ C <RR B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 680   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   <.cop 3496   class class class wbr 3895   Or wor 4177   R.cnr 7053   0Rc0r 7054   <R cltr 7059   RRcr 7546   <RR cltrr 7551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-1o 6267  df-2o 6268  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-lti 7063  df-plpq 7100  df-mpq 7101  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-mqqs 7106  df-1nqqs 7107  df-rq 7108  df-ltnqqs 7109  df-enq0 7180  df-nq0 7181  df-0nq0 7182  df-plq0 7183  df-mq0 7184  df-inp 7222  df-i1p 7223  df-iplp 7224  df-iltp 7226  df-enr 7469  df-nr 7470  df-ltr 7473  df-0r 7474  df-r 7557  df-lt 7560

This theorem is referenced by: (None)