Theorem 0nninf 13523

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	|- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6378	. . . 4 |- (/) e. 2o
2	1	fconst6 5362	. . 3 |- ( om X. { (/) } ) : om --> 2o
3		2onn 6457	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2721	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4546	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6611	. . 3 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { (/) } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4548	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		0ex 4087	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
10	9	fvconst2 5676	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
12	9	fvconst2 5676	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` i ) = (/) )
13	11, 12	eqtr4d 2190	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
14		eqimss 3178	. . . 4 |- ( ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
16	15	rgen 2507	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i )
17		fveq1 5460	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5460	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3155	. . . 4 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2454	. . 3 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7050	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2867	. 2 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 927	1 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   C_ wss 3098   (/)c0 3390   {csn 3556   suc csuc 4320   omcom 4543   X. cxp 4577   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   2oc2o 6347   ^m cmap 6582  ℕ_∞xnninf 7049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-nninf 7050

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13542