Theorem 0nninf 13372

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	|- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6346	. . . 4 |- (/) e. 2o
2	1	fconst6 5330	. . 3 |- ( om X. { (/) } ) : om --> 2o
3		2onn 6425	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2701	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4515	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6579	. . 3 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { (/) } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4517	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		0ex 4063	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
10	9	fvconst2 5644	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
12	9	fvconst2 5644	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` i ) = (/) )
13	11, 12	eqtr4d 2176	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
14		eqimss 3156	. . . 4 |- ( ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
16	15	rgen 2488	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i )
17		fveq1 5428	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5428	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3133	. . . 4 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2438	. . 3 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7015	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2847	. 2 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 927	1 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   suc csuc 4295   omcom 4512   X. cxp 4545   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   2oc2o 6315   ^m cmap 6550  ℕ_∞xnninf 7013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1o 6321  df-2o 6322  df-map 6552  df-nninf 7015

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13392