Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nninf Unicode version

Theorem 0nninf 11848
Description: The zero element of ℕ (the constant sequence equal to  (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
0nninf  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.

Proof of Theorem 0nninf
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 11840 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
21fconst6 5210 . . 3  |-  ( om 
X.  { (/) } ) : om --> 2o
3 2onn 6278 . . . . 5  |-  2o  e.  om
43elexi 2631 . . . 4  |-  2o  e.  _V
5 omex 4408 . . . 4  |-  om  e.  _V
64, 5elmap 6432 . . 3  |-  ( ( om  X.  { (/) } )  e.  ( 2o 
^m  om )  <->  ( om  X.  { (/) } ) : om --> 2o )
72, 6mpbir 144 . 2  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.  ( 2o  ^m  om )
8 peano2 4410 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
9 0ex 3966 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
109fvconst2 5513 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  (/) )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  (/) )
129fvconst2 5513 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
)  =  (/) )
1311, 12eqtr4d 2123 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  i
) )
14 eqimss 3078 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) )
1615rgen 2428 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i )
17 fveq1 5304 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i ) )
18 fveq1 5304 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) )
1917, 18sseq12d 3055 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) ) )
2019ralbidv 2380 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) ) )
21 df-nninf 6789 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2220, 21elrab2 2774 . 2  |-  ( ( om  X.  { (/) } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { (/) } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) ) )
237, 16, 22mpbir2an 888 1  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   suc csuc 4192   omcom 4405    X. cxp 4436   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   2oc2o 6175    ^m cmap 6403  ℕxnninf 6787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1o 6181  df-2o 6182  df-map 6405  df-nninf 6789
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  11867
  Copyright terms: Public domain W3C validator