Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nninf Unicode version

Theorem 0nninf 12999
Description: The zero element of ℕ (the constant sequence equal to  (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
0nninf  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.

Proof of Theorem 0nninf
Dummy variables  f  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6304 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
21fconst6 5290 . . 3  |-  ( om 
X.  { (/) } ) : om --> 2o
3 2onn 6383 . . . . 5  |-  2o  e.  om
43elexi 2670 . . . 4  |-  2o  e.  _V
5 omex 4475 . . . 4  |-  om  e.  _V
64, 5elmap 6537 . . 3  |-  ( ( om  X.  { (/) } )  e.  ( 2o 
^m  om )  <->  ( om  X.  { (/) } ) : om --> 2o )
72, 6mpbir 145 . 2  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.  ( 2o  ^m  om )
8 peano2 4477 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
9 0ex 4023 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
109fvconst2 5602 . . . . . 6  |-  ( suc  i  e.  om  ->  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  (/) )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  (/) )
129fvconst2 5602 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
)  =  (/) )
1311, 12eqtr4d 2151 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  i
) )
14 eqimss 3119 . . . 4  |-  ( ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  i
)  ->  ( ( om  X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) )
1615rgen 2460 . 2  |-  A. i  e.  om  ( ( om 
X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i )
17 fveq1 5386 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( f `  suc  i )  =  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i ) )
18 fveq1 5386 . . . . 5  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( f `  i
)  =  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) )
1917, 18sseq12d 3096 . . . 4  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  ( ( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) ) )
2019ralbidv 2412 . . 3  |-  ( f  =  ( om  X.  { (/) } )  -> 
( A. i  e. 
om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i )  <->  A. i  e.  om  (
( om  X.  { (/)
} ) `  suc  i )  C_  (
( om  X.  { (/)
} ) `  i
) ) )
21 df-nninf 6973 . . 3  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. i  e.  om  ( f `  suc  i )  C_  (
f `  i ) }
2220, 21elrab2 2814 . 2  |-  ( ( om  X.  { (/) } )  e.  <-> 
( ( om  X.  { (/) } )  e.  ( 2o  ^m  om )  /\  A. i  e. 
om  ( ( om 
X.  { (/) } ) `
 suc  i )  C_  ( ( om  X.  { (/) } ) `  i ) ) )
237, 16, 22mpbir2an 909 1  |-  ( om 
X.  { (/) } )  e.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   suc csuc 4255   omcom 4472    X. cxp 4505   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13019
  Copyright terms: Public domain W3C validator