Theorem 0nninf 15941

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	|- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6527	. . . 4 |- (/) e. 2o
2	1	fconst6 5475	. . 3 |- ( om X. { (/) } ) : om --> 2o
3		2onn 6607	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2784	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4641	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6764	. . 3 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { (/) } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 146	. 2 |- ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4643	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		0ex 4171	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
10	9	fvconst2 5800	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
12	9	fvconst2 5800	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` i ) = (/) )
13	11, 12	eqtr4d 2241	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
14		eqimss 3247	. . . 4 |- ( ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
16	15	rgen 2559	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i )
17		fveq1 5575	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5575	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3224	. . . 4 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2506	. . 3 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7222	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2932	. 2 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 945	1 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   suc csuc 4412   omcom 4638   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   2oc2o 6496   ^m cmap 6735  ℕ_∞xnninf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-nninf 7222

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  15961