Theorem 0nninf 14037

Description: The zero element of ℕ_∞ (the constant sequence equal to (/)). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0nninf	|- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Proof of Theorem 0nninf

Dummy variables f i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6420	. . . 4 |- (/) e. 2o
2	1	fconst6 5397	. . 3 |- ( om X. { (/) } ) : om --> 2o
3		2onn 6500	. . . . 5 |- 2o e. om
4	3	elexi 2742	. . . 4 |- 2o e. _V
5		omex 4577	. . . 4 |- om e. _V
6	4, 5	elmap 6655	. . 3 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) <-> ( om X. { (/) } ) : om --> 2o )
7	2, 6	mpbir 145	. 2 |- ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om )
8		peano2 4579	. . . . . 6 |- ( i e. om -> suc i e. om )
9		0ex 4116	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
10	9	fvconst2 5712	. . . . . 6 |- ( suc i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = (/) )
12	9	fvconst2 5712	. . . . 5 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` i ) = (/) )
13	11, 12	eqtr4d 2206	. . . 4 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
14		eqimss 3201	. . . 4 |- ( ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( i e. om -> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
16	15	rgen 2523	. 2 |- A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i )
17		fveq1 5495	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` suc i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) )
18		fveq1 5495	. . . . 5 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( f ` i ) = ( ( om X. { (/) } ) ` i ) )
19	17, 18	sseq12d 3178	. . . 4 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
20	19	ralbidv 2470	. . 3 |- ( f = ( om X. { (/) } ) -> ( A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) <-> A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
21		df-nninf 7097	. . 3 |- ℕ∞ = { f e. ( 2o ^m om ) | A. i e. om ( f ` suc i ) C_ ( f ` i ) }
22	20, 21	elrab2 2889	. 2 |- ( ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞ <-> ( ( om X. { (/) } ) e. ( 2o ^m om ) /\ A. i e. om ( ( om X. { (/) } ) ` suc i ) C_ ( ( om X. { (/) } ) ` i ) ) )
23	7, 16, 22	mpbir2an 937	1 |- ( om X. { (/) } ) e. ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574   X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14054